Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

26 (A.16)

OTTO HAUPT:

Die beiden verschiedenen, eben angeführten Arten von Be-
dingungsgleichungen ergeben sich unmittelbar bei passender Wahl
der Linearbasis für das System der Eigenfunktionen EQ(k = i,...,,t<).
Diese Basis gewinnt man durch folgende Überlegungen:
Unter den (mit konstanten Koeffizienten gebildeten) linearen
Aggregaten der (k = i,...,^) gebe es genau ^ 1. u. Eigenfunk-
tionen welche der Funktionalgleichung

(l) j 1 (t) j ^ I
genügen; bedeutet hierbei die zu konjugierte normierte
Potentialfunktion. Die bilden dann eine lineare Basis aller
Eigenfunktionen, welche Potentialfunktionen spezieller Art, näm-
lich jEnnEhoMe?!" sind, also Funktionen der komplexen
Veränderlichen t = x + iy. Übrigens ist der Beweis hierfür
ergibt sich unter Benutzung des Umstandes, daß überall auf 3)
von Null verschieden und daß infolgedessen der Quotient zweier
verschiedener M,. eine Eigenfunktion der ausgezeichneten Charak-
teristik und deshalb eine Konstante sein muß.
Ferner gebe es genau g.Q 1. u. Eigenfunktionen
welche der Funktionalgleichung
Genüge leisten. Die nt) stellen eine Linearbasis für alle
Eigenfunktionen dar, d. h. für die Funktionen des
Argumentes t = x — iy. Es ist ^ 1.
Insbesondere gilt für nichtreelle Charakteristiken po + go<i.
Dagegen hat man für reelle^ Charakteristiken go + (ü = 0 oder
go + p.Q = 2; übrigens haben im letzteren Falle, d.h. für go = [ü = l,
die zugehörigen Eigenfunktionen und coj, von einem konstan-
ten Faktor abgesehen, konjugiert-komplexe Werte in gleichen
PLinkten von 32.
Der Beweis, daß z. B. go + ßo^ 1 für nichtreelle Charakteristi-
ken, läßt sich so führen: oij. sei eine analytische Eigenfunktion
23 Die Fassung dieses Satzes an andrer Stelle (HAUPT, Über die Inte-
grale RiEMANNscher Funktionenscharen, Sitzungsberichte der Heidelberger
Akad. 1914, 23. Abh., S. 11) ist unvollständig. Die dort gegebene Formulie-
rung bedarf daher entsprechender Ergänzung.