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https://doi.org/10.11588/diglit.36524#0036
36 (A.16)
OTTO HAUPT:
T = i, 0 = 0 für die Punkte von (a')^;
(p = 1, T = 0 für die Punkte von a";
(p = 1, T = 0 für alle übrigen Punkte des (abgeschlossenen) Be-
reiches (von 9i^ abgesehen).
Und entsprechend ist die Definition von y für das Innere von 9p,
und dessen Begrenzung zu formulieren.
}z besitzt die Eigenschaften 1. und 2. Denn innerhalb 91^ und
auf dessen Begrenzung ist z.B. (P stetig und beliebig oft stetig
differentiierbar und schließt sich mit allen Ableitungen in a" an
die Konstante Eins, in (a') ** an die Konstante Null stetig anW
Außerdem ist da die reellwertigen Funktionen <P und T
nicht beide gleichzeitig verschwinden und negative Werte nicht
annehmen, während weder A noch B negativ reell ist.
g. liefert nun^ eine Funktion g (x,y), welche innerhalb @ und
auf dessen Begrenzung die an g(x,y) gestellten Anforderungen
befriedigt, insbesondere also von Null verschieden ist und multi-
plikativ zur Charakteristik gehört.
Unter Benutzung von g' (x,y) läßt sich eine Funktion g'"(x,y)
bilden, welche innerhalb @ und auf dessen Begrenzung die von
g(x,y) zu fordernden Eigenschaften hat, in allen Punkten von 3
aber den konstanten Wert Eins annimmt, während daselbst alle
ihre Ableitungen Null sind; mit andern Worten: g"(x,y) soll
sich längs § mit allen Ableitungen stetig an Eins anschließen. Hat
man für jedes der p Schnittpaare a„,b„ n = i,...,p) bzw. für zuge-
hörige Streifen je eine derartige Funktion gj, (x,y) gebildet,
so kann g(x,y) in folgender Weise definiert werden:
g = gj,*(x,y) innerhalb und auf dessen Begrenzung n = i,...,p),
g = 1 innerhalb 32, aber außerhalb (Sy, ...,@p.
Um g" (x,y) zu gewinnen, bilde man @ ein-eindeutig und konform ab
auf ein im Innern des schlichten Einheitskreises gelegenes, zweifach
zusammenhängendes Gebiet und zwar möge dabei der Linien-
zug b^, a", b", a\ welcher ja zur Begrenzung von @ gehört, der
3^-Vgl. z.B. OsGooD, Lehrbuch der Funktionentheorie (Leipzig 1912,
1. Band, 8. 116).
32 Ygl. pRYM und RosT, 1. c. 2, 8. 129.
OTTO HAUPT:
T = i, 0 = 0 für die Punkte von (a')^;
(p = 1, T = 0 für die Punkte von a";
(p = 1, T = 0 für alle übrigen Punkte des (abgeschlossenen) Be-
reiches (von 9i^ abgesehen).
Und entsprechend ist die Definition von y für das Innere von 9p,
und dessen Begrenzung zu formulieren.
}z besitzt die Eigenschaften 1. und 2. Denn innerhalb 91^ und
auf dessen Begrenzung ist z.B. (P stetig und beliebig oft stetig
differentiierbar und schließt sich mit allen Ableitungen in a" an
die Konstante Eins, in (a') ** an die Konstante Null stetig anW
Außerdem ist da die reellwertigen Funktionen <P und T
nicht beide gleichzeitig verschwinden und negative Werte nicht
annehmen, während weder A noch B negativ reell ist.
g. liefert nun^ eine Funktion g (x,y), welche innerhalb @ und
auf dessen Begrenzung die an g(x,y) gestellten Anforderungen
befriedigt, insbesondere also von Null verschieden ist und multi-
plikativ zur Charakteristik gehört.
Unter Benutzung von g' (x,y) läßt sich eine Funktion g'"(x,y)
bilden, welche innerhalb @ und auf dessen Begrenzung die von
g(x,y) zu fordernden Eigenschaften hat, in allen Punkten von 3
aber den konstanten Wert Eins annimmt, während daselbst alle
ihre Ableitungen Null sind; mit andern Worten: g"(x,y) soll
sich längs § mit allen Ableitungen stetig an Eins anschließen. Hat
man für jedes der p Schnittpaare a„,b„ n = i,...,p) bzw. für zuge-
hörige Streifen je eine derartige Funktion gj, (x,y) gebildet,
so kann g(x,y) in folgender Weise definiert werden:
g = gj,*(x,y) innerhalb und auf dessen Begrenzung n = i,...,p),
g = 1 innerhalb 32, aber außerhalb (Sy, ...,@p.
Um g" (x,y) zu gewinnen, bilde man @ ein-eindeutig und konform ab
auf ein im Innern des schlichten Einheitskreises gelegenes, zweifach
zusammenhängendes Gebiet und zwar möge dabei der Linien-
zug b^, a", b", a\ welcher ja zur Begrenzung von @ gehört, der
3^-Vgl. z.B. OsGooD, Lehrbuch der Funktionentheorie (Leipzig 1912,
1. Band, 8. 116).
32 Ygl. pRYM und RosT, 1. c. 2, 8. 129.