Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Randwertaufgabe für A(u)=0.

(A.16) 37

Peripherie des Einheitskreises entsprechen, x, y seien rechtwink-
lige Koordinaten in der Bildebene (Ebene von und es werde,
bezogen auf die Koordinaten der Bildebene, g^(x,y) = g'(x,y) ge-
schrieben. pi und pa (i>ßa>ei>o) seien die Radien zweier zum Ein-
heitskreise konzentrischer Kreise Hä und deren Peripherien
ganz dem Innern des ringartigen Gebietes @ angehören. Der von
3R und <A'a begrenzte Kreisring sei mit 91 bezeichnet. Man setze
g"(x,y) = jg*(x,y),e^(*'^ .
Dabei ist zu beachten: Werden die Ufer des Schnittpaares a, b
auf 'S im oben (§ 1, Seite 7) festgesetzten positiven Sinne durch-
laufen und wird g" durch Multiplikation mit einer Konstanten ge-
eignet normiert, so ändert sich y*, den über g bzw. g", x und ß
getroffenen Voraussetzungen gemäß, in der folgenden Weise:
Mit dem Werte x + ß beginnend, geht y" monoton (wachsend
oder abnehmend, je nachdem x<0 oder x>0) über in ß, sodann
monoton in Null, von diesem Werte monoton zu x und schließlich
wieder monoton zum Ausgangswerte x + ß zurück.
Es sei nun z. B. x>0 und ß>0. Da xpx, ß + x vorausgesetzt
war, wird demnach y" auf a, b oder also auf dem Einheitskreise
nicht negativ, erreicht aber andrerseits den Wert + 2n; nicht;
P (a+/3<r<2?r) sei ein Wert, den y' auf a,b nicht annimmt. Die De-
finition von g*(x,y) läßt darüber hinaus erkennen, daß y*(x,y)
überhaupt für jede Stelle von @ (und mithin auch von 9t) der
Bedingung 0 - y x + ß < T genügt.
Alan verschmelze in @und auf dessen Begrenzung g (x,y)
mit —e^ zu einer neuen Funktion d'(x,y) gemäß folgender Fest-
setzung:

d"(x,y) = — e^' - 0(x,y) + g (x,y) - T(x,v) für alle Punkte im
Innern und auf der Begrenzung von @.
Dabei ist
0 = 0, 0 = 1 für alle Punkte von @ und von dessen Begrenzung,
die nicht innere Punkte von ^ sind;
O = 1,0 = 0 für alle Punkte von @ und von dessen Begrenzung,
die nicht dem Äußeren von <tR angehören;

O = e^, T = e^; ^

1

<Pi

?2

P "Pi
für innere Punkte von 91.