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https://doi.org/10.11588/diglit.36515#0011
PAUL STACHEL J.
(A.7) 11
Minimalflächen durch die Asymptotenlinien in unendlich kleine
Quadrate zerlegt werden. Im Anschluß hieran untersucht er näm-
lich die Flächen, bei denen an Stelle der Quadrate Rhomben mit
dem Winkel ^ treten. Überraschenderweise ergibt sich, daß zu
jedem Winkel ^ nur e?Ae Fläche gehört; speziell für ^ = yr/2 erhält
man dabei das Katenoid, während die andern Minimalflächen kein
Analogon haben. Beim ersten Anlauf findet STÄCKEL weiter, daß
die betreffenden Flächen in Rotationsflächen verbogen werden
können, und später zeigt er sogar, daß sie selbst Rotationsflächen
sind, deren Gleichungen aufgestellt werden.
Neben den Begriff der konformen Abbildung, hei der die erste
Fundamentalform sich nur um einen Faktor ändert, stellt STÄCKEL
als gleichberechtigt die Ann/un/chce Abbildung, bei der die zweite
Fundamentalform sich nur um einen Faktor ändert. Besonderes
Interesse verdient der Fall, daß eine Abbildung zugleich konform
und konjunktiv ist. Daß jede Ähnlichkeitstransformation einer
Fläche diese Eigenschaft hat, ist evident. STÄCKEL zeigt aber
weiter, daß eine Fläche, außer wenn sie zu einer gewissen Familie
gehört, die durch eine partielle Differentialgleichung charakteri-
siert werden kann, keine weitere konform-konjunktive Abbildung
zuläßt.
Die weiteren geometrischen Arbeiten STÄCKELS sind vielfach
kritischer Natur. So z. B. gewisse Untersuchungen über algebra-
isch rektifizierbare algebraische Kurven. Die Mathematiker des
18. Jahrhunderts glaubten, einen sehr einfachen und anschaulichen
Beweis dafür zu haben, daß eine geschlossene algebraische Kurve
nicht algebraisch rektifiziert werden könne. Wenn nämlich u der
Umfang ist, so müßten zu ein und demselben Abszissenwert T
unendlich viele Werte der Bogenlänge
$, 3 + U, 3 + 2 M , . . .
gehören, so daß die Beziehung zwischen Abszisse und Bogenlänge
nicht algebraisch sein kann. Und doch sah man an dem Beispiel
der Astroide, daß der Satz falsch ist. Die verschiedenen Erklä-
rungsversuche dieses Paradoxons befriedigten nicht. STÄCKEL
fand die richtige Erklärung einfach darin, daß man das Wort
»Bogenlänge« in doppeltem Sinne gebraucht hatte. Es ist nämlich
zu unterscheiden zwischen der gf07?ze^rNche7? Bogenlänge, wor-
unter das Integral
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Minimalflächen durch die Asymptotenlinien in unendlich kleine
Quadrate zerlegt werden. Im Anschluß hieran untersucht er näm-
lich die Flächen, bei denen an Stelle der Quadrate Rhomben mit
dem Winkel ^ treten. Überraschenderweise ergibt sich, daß zu
jedem Winkel ^ nur e?Ae Fläche gehört; speziell für ^ = yr/2 erhält
man dabei das Katenoid, während die andern Minimalflächen kein
Analogon haben. Beim ersten Anlauf findet STÄCKEL weiter, daß
die betreffenden Flächen in Rotationsflächen verbogen werden
können, und später zeigt er sogar, daß sie selbst Rotationsflächen
sind, deren Gleichungen aufgestellt werden.
Neben den Begriff der konformen Abbildung, hei der die erste
Fundamentalform sich nur um einen Faktor ändert, stellt STÄCKEL
als gleichberechtigt die Ann/un/chce Abbildung, bei der die zweite
Fundamentalform sich nur um einen Faktor ändert. Besonderes
Interesse verdient der Fall, daß eine Abbildung zugleich konform
und konjunktiv ist. Daß jede Ähnlichkeitstransformation einer
Fläche diese Eigenschaft hat, ist evident. STÄCKEL zeigt aber
weiter, daß eine Fläche, außer wenn sie zu einer gewissen Familie
gehört, die durch eine partielle Differentialgleichung charakteri-
siert werden kann, keine weitere konform-konjunktive Abbildung
zuläßt.
Die weiteren geometrischen Arbeiten STÄCKELS sind vielfach
kritischer Natur. So z. B. gewisse Untersuchungen über algebra-
isch rektifizierbare algebraische Kurven. Die Mathematiker des
18. Jahrhunderts glaubten, einen sehr einfachen und anschaulichen
Beweis dafür zu haben, daß eine geschlossene algebraische Kurve
nicht algebraisch rektifiziert werden könne. Wenn nämlich u der
Umfang ist, so müßten zu ein und demselben Abszissenwert T
unendlich viele Werte der Bogenlänge
$, 3 + U, 3 + 2 M , . . .
gehören, so daß die Beziehung zwischen Abszisse und Bogenlänge
nicht algebraisch sein kann. Und doch sah man an dem Beispiel
der Astroide, daß der Satz falsch ist. Die verschiedenen Erklä-
rungsversuche dieses Paradoxons befriedigten nicht. STÄCKEL
fand die richtige Erklärung einfach darin, daß man das Wort
»Bogenlänge« in doppeltem Sinne gebraucht hatte. Es ist nämlich
zu unterscheiden zwischen der gf07?ze^rNche7? Bogenlänge, wor-
unter das Integral