Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integralfunktionen partieller Differentialgleichungen. (A. 8) 35

sein, und somit die Annahme gemacht werden dürfen, daß F die
Form hat:
F = M + Tl Ji + 7^ Jg + - - - + f; ,

worin in ^,...^,y,12i,...12^,12 rationale Integral-
funktionen darstellen.
Daß, wenn eine lineare partielle Differentialgleichung (39)
Integralfunktionen besitzt, welche linear aus algebraischen Funk-
tionen der Variabein ^,...^,y und Transzendenten der Form
(47) zusammengesetzt sind, ihr auch Integralfunktionen angehören,
welche ganze, gebrochene, oder allgemein algebraische Funktionen
von diesen Transzendenten sind, geht daraus hervor, daß beliebige
Funktionen von Integralfunktionen einer linearen partiellen Dif-
ferentialgleichung auch wieder Integralfunktionen sind; aber es
bleibt die Frage zu beantworten, ob auch umgekehrt die Existenz
einer aus den Transzendenten von einem höheren Grade algebra-
isch zusammengesetzten Integralfunktion ebensolche, welche linear
aus jenen gebildet sind, zur Voraussetzung hat.
Sei die Integralfunktion F eine algebraische Funktion der
Variabein ^,...^,y und der 2 Transzendenten 7^,7^,... 7;, oder
die Lösung einer mit Adjungierung von
(51) ^^,...^,... , D, wi, (y^,...w;,, (y^, A, 7^,... 7^
irreduktibeln Gleichung
(52) F' + r, F?-' + r, F?-" + ... + = 0 ,

in welcher r^,...r^ rationale Funktionen der Größen (51) sind, so
9F 9F
werden, da und - wiederum rationale Funktionen der
3^ 3y
Größen (51) und der Integralfunktion F sind, die Lösungen F^
F2,...F^, der Gleichung (52) die Gleichung

9F 9F 9F
i_L... + D-12-
3^, 3y

0

identisch befriedigen, und somit selbst wieder, also auch riAg,...^,
welche die Transzendenten 7^,A?---A nur rational enthalten,