4 (A. 2)
Leo Koenigsberger:
Zugleich folgt aber, daß, wenn eine Differentialgleichung (1)
mit einer zugehörigen (2) ein Integral gemein hat, die Gleichungen
alle Integrale gemeinsam besitzen. Denn ist yr ein den beiden Dif-
ferentialgleichungen (1) und (2) gemeinsames Integral, und ^y^xa
eine den Gleichungen (1) und (2) gemeinsame Größe, so wird,
wenn aus (1)
(3)
-— = w1[xl,x2, ...xn, yx, ——
3^ \
3 2/i 3 2/1
3^-1 ’ 9^a+l
3 2/i\
3^n/
folgt, sich aus der Definition der Zugehörigkeit die in allen in ihr
enthaltenen Größen identische Gleichung ergeben:
/M / ^2/i dyt
(4) v k, y,
= 0 ,
3^/
und somit, wenn y2 irgendein andres Integral von (1) ist, auch
/ 3 2/2
(5) (p\x1,x2,...xn,y2, —
3 2/2 3 2/2
3^-1 ^a+1
= o
^Xn)
sein, worin a>2 der Wert von für 2/i = 2/2 ist» oder, da sich aus
(1) nach (3):
(6) -— = w2\xr,x2,...xn,y2,
cxa \
ergibt,
l
(7) cp\xx,x2,...xn,y2, -—, ...
\
??/2 ^2/2 ^2/2
3% ’ 3^-1 ’ 3x„+1
3 ?/2 3 2/2 3?/2
3^-1 ’ ^Xa ' ^Xa+1
djhX
^xn)
3aLo,
3^n/
und daher das Integral y2 der Gleichung /=0 auch ein Integral
von cp = 0 ist.
Hieraus können wir schließen, daß, wenn von zwei Differential-
gleichungen (1) und (2) mit einem gemeinsamen Integral yY nur / = 0
die Größe y explizite enthält, die Gleichung (2) der Gleichung (1)
nicht zugehörig sein kann, da das Integral 2/i + c der Gleichung
99-0, in welchem c eine willkürliche Konstante ist, der Gleichung
(1) wegen der Unmöglichkeit des Zusammenbestehens der beiden
Gleichungen
Leo Koenigsberger:
Zugleich folgt aber, daß, wenn eine Differentialgleichung (1)
mit einer zugehörigen (2) ein Integral gemein hat, die Gleichungen
alle Integrale gemeinsam besitzen. Denn ist yr ein den beiden Dif-
ferentialgleichungen (1) und (2) gemeinsames Integral, und ^y^xa
eine den Gleichungen (1) und (2) gemeinsame Größe, so wird,
wenn aus (1)
(3)
-— = w1[xl,x2, ...xn, yx, ——
3^ \
3 2/i 3 2/1
3^-1 ’ 9^a+l
3 2/i\
3^n/
folgt, sich aus der Definition der Zugehörigkeit die in allen in ihr
enthaltenen Größen identische Gleichung ergeben:
/M / ^2/i dyt
(4) v k, y,
= 0 ,
3^/
und somit, wenn y2 irgendein andres Integral von (1) ist, auch
/ 3 2/2
(5) (p\x1,x2,...xn,y2, —
3 2/2 3 2/2
3^-1 ^a+1
= o
^Xn)
sein, worin a>2 der Wert von für 2/i = 2/2 ist» oder, da sich aus
(1) nach (3):
(6) -— = w2\xr,x2,...xn,y2,
cxa \
ergibt,
l
(7) cp\xx,x2,...xn,y2, -—, ...
\
??/2 ^2/2 ^2/2
3% ’ 3^-1 ’ 3x„+1
3 ?/2 3 2/2 3?/2
3^-1 ’ ^Xa ' ^Xa+1
djhX
^xn)
3aLo,
3^n/
und daher das Integral y2 der Gleichung /=0 auch ein Integral
von cp = 0 ist.
Hieraus können wir schließen, daß, wenn von zwei Differential-
gleichungen (1) und (2) mit einem gemeinsamen Integral yY nur / = 0
die Größe y explizite enthält, die Gleichung (2) der Gleichung (1)
nicht zugehörig sein kann, da das Integral 2/i + c der Gleichung
99-0, in welchem c eine willkürliche Konstante ist, der Gleichung
(1) wegen der Unmöglichkeit des Zusammenbestehens der beiden
Gleichungen