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Leo Koenigsberger:
und es würde daher, da diese Beziehung für jede Zusammenstel-
lung von r der Parameter alya2,... an güt, gegen die Voraussetz-
ung die Determinante D verschwinden. Enthält jedoch 13 die ab-
hängige Variable y, so läßt sich diese Größe zwischen (1) und
0 = 0 eliminieren, ohne eine identische Eliminationsgleichung zu
ergeben, da letztere der Gleichung (1) nicht zugehörig sein sollte,
und es würde dann das Zusammenbestehen von (1) mit dieser, y
nicht enthaltenden Eliminationsgleichung gegen die Voraussetzung
Z> = 0 ergeben. Wir finden somit
als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß ein Inte-
gral y = F (x^, x2, ... xn, aly a2, ... a„) einer Differentialgleichung
f(x1,x2,...xn,y, %yßxx, tyßx2, ... tyßxj) = 0, welche y explizite
enthält, ein vollständiges Integral derselben ist, D^O.
Zugleich ist ersichtlich, daß, weil man für D+0 die Parameter
a1,a2,...an als Funktionen von x±, x2,... xn, y:, 2yßx1, . ..^yf^xn
berechnen und in (10) substituieren kann, die so entstehende Dif-
ferentialgleichung sich in der Form (1), welche y enthält, ergeben
wird. Enthält
II. die Differentialgleichung (1) die abhängige Variable y
nicht explizite, so wird zunächst eine notwendige Bedingung da-
für, daß (10) ein vollständiges Integral derselben ist, durch D = 0
gegeben sein, da sich aus
(13)
7
f\x1,x2,...xn,-—,
\
2y__
3^2 ’
•77°
3^«/
die Beziehung
/ 3F
\ "Xi
3F
3^2 ’
3F
= 0
ergibt, welche, wie oben gezeigt, D = 0 nach sich zieht. Ist nun
(10) ein vollständiges Integral von (13), so muß
(14) A-
a2E
22F
&F
dF
22F
22F
+ 0
3^3 ax
dx2dax
dx^a^
dat
dxi+i&h
^xn^al
&F
&F
d2F
3F
32F
&F
dx^an
^x2^an
2an
3xi+13an
^xn^an