Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 25
genügen; aber dies ist unmöglich, wenn man zeigen kann, daß
(16) keine zu den Differentialgleichungen (14) zugehörige Diffe-
rentialgleichung ist, da das vollständige Integralsystem nur noch
einer zugehörigen Differentialgleichung genügen kann. Daß aber
(16) den Gleichungen (14) nicht zugehörig ist, geht aus nach-
stehender Überlegung hervor: Setzt man den aus der ersten Glei-
chung (14) hervorgehenden Wert
(17)
9?/i / •?//, dy2\
-- = W l Xi , X9, 2/i , ——, ——, ——
dxt \ dx2 dfyj
in die zweite Gleichung ein, so daß diese in
oder z. B. in
(18)
7/2 = A ^2, V’
djh
dx2 ’ ’
3 2/2
9^2
3 2/2
= V>1
9^2
^11^21^,2/2
c)x2 ’ 9^
übergeht, und substituiert die Werte (17) und (18) in (16), so
müßte nach der Definition einer zu (14) zugehörigen Differential-
gleichung
l dyi ^y*
M , x2, y, -—, -—,
in allen hierin enthaltenen Größen identisch verschwinden, was
nicht der Fall sein kann, da y2 nur in enthalten ist.
Es wird aber auch umgekehrt, wenn D nicht identisch Null
ist, das Integralsystem (9) ein vollständiges der Differentialgleichungen
(14) sein. Denn wäre dies nicht der Fall, genügte also das Inte-
gralsystem (9) noch einer andern, nicht zugehörigen, Differential-
gleichung
(19)
„ / 3!/i
^ = 0,
9^2/
so würde letztere entweder y± und y2 gar nicht enthalten, oder es
ließe sich, weil (19) keine zu (14) zugehörige Gleichung sein sollte,
genügen; aber dies ist unmöglich, wenn man zeigen kann, daß
(16) keine zu den Differentialgleichungen (14) zugehörige Diffe-
rentialgleichung ist, da das vollständige Integralsystem nur noch
einer zugehörigen Differentialgleichung genügen kann. Daß aber
(16) den Gleichungen (14) nicht zugehörig ist, geht aus nach-
stehender Überlegung hervor: Setzt man den aus der ersten Glei-
chung (14) hervorgehenden Wert
(17)
9?/i / •?//, dy2\
-- = W l Xi , X9, 2/i , ——, ——, ——
dxt \ dx2 dfyj
in die zweite Gleichung ein, so daß diese in
oder z. B. in
(18)
7/2 = A ^2, V’
djh
dx2 ’ ’
3 2/2
9^2
3 2/2
= V>1
9^2
^11^21^,2/2
c)x2 ’ 9^
übergeht, und substituiert die Werte (17) und (18) in (16), so
müßte nach der Definition einer zu (14) zugehörigen Differential-
gleichung
l dyi ^y*
M , x2, y, -—, -—,
in allen hierin enthaltenen Größen identisch verschwinden, was
nicht der Fall sein kann, da y2 nur in enthalten ist.
Es wird aber auch umgekehrt, wenn D nicht identisch Null
ist, das Integralsystem (9) ein vollständiges der Differentialgleichungen
(14) sein. Denn wäre dies nicht der Fall, genügte also das Inte-
gralsystem (9) noch einer andern, nicht zugehörigen, Differential-
gleichung
(19)
„ / 3!/i
^ = 0,
9^2/
so würde letztere entweder y± und y2 gar nicht enthalten, oder es
ließe sich, weil (19) keine zu (14) zugehörige Gleichung sein sollte,