28 (A. 2)
Leo Koenigsberger:
(20) wären. Dies ist aber unmöglich, da, wenn sie zugehörige
wären, zwei der Ableitungen, aus (20) hergeleitet und in (21) sub-
stituiert, letztere in allen Größen identisch machen müßten; ist
aber y2 in /2 enthalten und substituiert man in die erste der Glei-
chungen (21) die Werte der beiden gewählten Ableitungen, von
denen die eine durch die übrigen Ableitungen, die andre durch
ebendiese und y2 oder yx und y2 ausgedrückt ist, so kann y2 nicht
herausfallen; ist jedoch yx in /t enthalten und substituiert man
die beiden Ableitungen in die zweite der Gleichungen (21), von
denen die eine wieder nur durch die übrigen Ableitungen, die
andre durch ebendiese und yx oder yr und y2 ausgedrückt ist, so
kann yx nicht herausfallen — die obige Behauptung ist somit er-
wiesen.
Um nun die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
dafür aufzustellen, daß unter der Bedingung, daß ß alle vier par-
tiellen Dif'ferentialquotienten und /2 eine oder beide der abhängi-
gen Variabein enthält, das Integralsystem (9) ein vollständiges
der Differentialgleichungen (20) ist, greife man eine beliebige Ver-
tikalreihe von D heraus, z. B. wieder die erste, von welcher, wie
eben gezeigt worden, nicht alle Elemente verschwindende Unter-
determinanten erster Ordnung besitzen, und ersetze die Elemente
derselben durch
3Ft 3Ft 3FX 3F1
dan ’ 3n12 ’ 3a21 ’ 3a22 ’
dann wird behauptet, daß für ein vollständiges Integralsystem (9)
die Determinante
^i
d2Ft
&f2
32F2
^«n
3 x2 3 an
3 ^i 3 an
2 Xi 3 alt
3EX
d2F.
32f2
3 «12
3 j/2 3 «j2
3^3«12
3rr23a12
(22) Dx =
3Ft
32Ft
s2f2
32^2
«21
3rr2 3 a21
3 xt 3 «21
3^23«2i
^1
32Et
32F2
s2f2
3 <z22
3 x2 3 a22
3^3(z22
dx2da22
Leo Koenigsberger:
(20) wären. Dies ist aber unmöglich, da, wenn sie zugehörige
wären, zwei der Ableitungen, aus (20) hergeleitet und in (21) sub-
stituiert, letztere in allen Größen identisch machen müßten; ist
aber y2 in /2 enthalten und substituiert man in die erste der Glei-
chungen (21) die Werte der beiden gewählten Ableitungen, von
denen die eine durch die übrigen Ableitungen, die andre durch
ebendiese und y2 oder yx und y2 ausgedrückt ist, so kann y2 nicht
herausfallen; ist jedoch yx in /t enthalten und substituiert man
die beiden Ableitungen in die zweite der Gleichungen (21), von
denen die eine wieder nur durch die übrigen Ableitungen, die
andre durch ebendiese und yx oder yr und y2 ausgedrückt ist, so
kann yx nicht herausfallen — die obige Behauptung ist somit er-
wiesen.
Um nun die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
dafür aufzustellen, daß unter der Bedingung, daß ß alle vier par-
tiellen Dif'ferentialquotienten und /2 eine oder beide der abhängi-
gen Variabein enthält, das Integralsystem (9) ein vollständiges
der Differentialgleichungen (20) ist, greife man eine beliebige Ver-
tikalreihe von D heraus, z. B. wieder die erste, von welcher, wie
eben gezeigt worden, nicht alle Elemente verschwindende Unter-
determinanten erster Ordnung besitzen, und ersetze die Elemente
derselben durch
3Ft 3Ft 3FX 3F1
dan ’ 3n12 ’ 3a21 ’ 3a22 ’
dann wird behauptet, daß für ein vollständiges Integralsystem (9)
die Determinante
^i
d2Ft
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3 x2 3 an
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2 Xi 3 alt
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3 «12
3 j/2 3 «j2
3^3«12
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(22) Dx =
3Ft
32Ft
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3rr2 3 a21
3 xt 3 «21
3^23«2i
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3 <z22
3 x2 3 a22
3^3(z22
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