46 (A.2)
Leo Koenigsberger:
ein Integral von (4), so daß die Gleichung
(dF $F 3F \
3 3 ^2 | n
%i, x2,...xn,y, ’ *'* 2/rl
2y cy 2y '
für beliebige Werte von x^ z2,... zn, y identisch erfüllt wird, so
ist dies auch der Fall, wenn für y die aus der Gleichung
F (^, z2, ...zn, y) = a,
worin a eine willkürliche Konstante ist, hervorgehende Funktion
y als Funktion von zx,z2, ...zn,a gesetzt wird. Da aber für diese
= Jjf_
3F 2za
~iy
ist, so geht die obige Gleichung in
,/ - $y 3y\ n
f\z1,z2,...zn,y, ——, ——, ... —— = 0
\ dzt dx2 dzn)
über, oder es ist die aus der Gleichung F(zt, z2,... zn, y) = a sich
ergebende Funktion y mit einer willkürlichen Konstanten ein parti-
kuläres Integral von (1).
Es soll nun der Kürze halber ein von einer willkürlichen Kon-
stanten freies Integral der Differentialgleichung (4) eine Integral-
funktion der Differentialgleichung (1) genannt werden; aus einer
Integralfunktion von (1) ergibt sich die Kenntnis eines von einer
willkürlichen Konstanten abhängigen Integrals eben dieser Diffe-
rentialgleichung.
Des Folgenden wegen ist aber eine ergänzende Bemerkung
hierzu wesentlich. Ist in der Differentialgleichung (1) y nicht expli-
zite enthalten und ist diese in den partiellen Ableitungen homogen
ganz vom Grade N, hat also die Form:
Leo Koenigsberger:
ein Integral von (4), so daß die Gleichung
(dF $F 3F \
3 3 ^2 | n
%i, x2,...xn,y, ’ *'* 2/rl
2y cy 2y '
für beliebige Werte von x^ z2,... zn, y identisch erfüllt wird, so
ist dies auch der Fall, wenn für y die aus der Gleichung
F (^, z2, ...zn, y) = a,
worin a eine willkürliche Konstante ist, hervorgehende Funktion
y als Funktion von zx,z2, ...zn,a gesetzt wird. Da aber für diese
= Jjf_
3F 2za
~iy
ist, so geht die obige Gleichung in
,/ - $y 3y\ n
f\z1,z2,...zn,y, ——, ——, ... —— = 0
\ dzt dx2 dzn)
über, oder es ist die aus der Gleichung F(zt, z2,... zn, y) = a sich
ergebende Funktion y mit einer willkürlichen Konstanten ein parti-
kuläres Integral von (1).
Es soll nun der Kürze halber ein von einer willkürlichen Kon-
stanten freies Integral der Differentialgleichung (4) eine Integral-
funktion der Differentialgleichung (1) genannt werden; aus einer
Integralfunktion von (1) ergibt sich die Kenntnis eines von einer
willkürlichen Konstanten abhängigen Integrals eben dieser Diffe-
rentialgleichung.
Des Folgenden wegen ist aber eine ergänzende Bemerkung
hierzu wesentlich. Ist in der Differentialgleichung (1) y nicht expli-
zite enthalten und ist diese in den partiellen Ableitungen homogen
ganz vom Grade N, hat also die Form: