Über partielle Differentialgleichungssysteme erster Ordnung. (A. 2) 51
worin yt und y2 fehlen, so gehen diese Gleichungen durch Sub-
stitution der Werte (13) in
(17)
, m2 ,nx ,n2 (#1, 2 ^2 ^2 ~ OJ1 (X1 » X2 ■> j 7^2 i ^2) ~ 0
V2 (^1 ’ ■Z'2) ^22 = ^2(^11^27 ^1 5^15 ^2^2) = 0
(^1+Ju2+v1+v2 = V2)
über, und allgemein werden offenbar die angenommenen Bedin-
gungen von der Unabhängigkeit dieser Gleichungen von den ex-
pliziten yr und y2 sowie von der Homogenität der Gleichungen (16)
in den partiellen Differentialquotienten, also auch der Homogeni-
tät von (17) in bezug auf die Differentialquotienten von zr und z2
in bezug auf x2, y^ y2 noch nicht genügen, um wie oben für
eine partielle Differentialgleichung einen Ausnahmefall zu bilden;
nur wenn die Differentialgleichungen (17) die Differentialquotienten
d F\ 3F\ ZF* ZF,
3 2/2 ’ dy2
und 2/t sowie y2 selbst nicht explizite enthalten, wird ein Integral-
system Fr und F2 dieses partiellen Differentialgleichungssystems
nur von xr und x2 abhängen, und durch Gleichsetzen dieser mit
einer Konstanten kein Integral der Differentialgleichungen (16)
sich ergeben. Es bleibt somit nur zu untersuchen, unter welchen
Bedingungen und bei gleichzeitiger Voraussetzung der Unabhängig-
keit der Integrale Ft und F2 voneinander die Differentialgleichun-
gen (17) von den Differentialquotienten
SFi 2FX 3F2 3F2
dyi ’ 3«/2 ’ ’ dy2
unabhängig sein werden. Setzt man nun die Differentialquotienten
der Funktionen eq und m2 nach diesen vier Ableitungen genommen
der Null gleich, so ergibt sich vermöge der Beziehungen (12):
4*
worin yt und y2 fehlen, so gehen diese Gleichungen durch Sub-
stitution der Werte (13) in
(17)
, m2 ,nx ,n2 (#1, 2 ^2 ^2 ~ OJ1 (X1 » X2 ■> j 7^2 i ^2) ~ 0
V2 (^1 ’ ■Z'2) ^22 = ^2(^11^27 ^1 5^15 ^2^2) = 0
(^1+Ju2+v1+v2 = V2)
über, und allgemein werden offenbar die angenommenen Bedin-
gungen von der Unabhängigkeit dieser Gleichungen von den ex-
pliziten yr und y2 sowie von der Homogenität der Gleichungen (16)
in den partiellen Differentialquotienten, also auch der Homogeni-
tät von (17) in bezug auf die Differentialquotienten von zr und z2
in bezug auf x2, y^ y2 noch nicht genügen, um wie oben für
eine partielle Differentialgleichung einen Ausnahmefall zu bilden;
nur wenn die Differentialgleichungen (17) die Differentialquotienten
d F\ 3F\ ZF* ZF,
3 2/2 ’ dy2
und 2/t sowie y2 selbst nicht explizite enthalten, wird ein Integral-
system Fr und F2 dieses partiellen Differentialgleichungssystems
nur von xr und x2 abhängen, und durch Gleichsetzen dieser mit
einer Konstanten kein Integral der Differentialgleichungen (16)
sich ergeben. Es bleibt somit nur zu untersuchen, unter welchen
Bedingungen und bei gleichzeitiger Voraussetzung der Unabhängig-
keit der Integrale Ft und F2 voneinander die Differentialgleichun-
gen (17) von den Differentialquotienten
SFi 2FX 3F2 3F2
dyi ’ 3«/2 ’ ’ dy2
unabhängig sein werden. Setzt man nun die Differentialquotienten
der Funktionen eq und m2 nach diesen vier Ableitungen genommen
der Null gleich, so ergibt sich vermöge der Beziehungen (12):
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