10 (A. 5)
Heinrich Liebmann:
und es wird weiter
sin a . sin a .
r =-e~\ 5 = 0, t =--— e2 .
k k
Geht man mit den daraus folgenden Werten
sina , sina ,
dp =-e dx, dq =--— e dy
k k
in die Formeln (1") und (2") ein und berücksichtigt außerdem
die Tabelle (T), so erhält man jetzt
(10) cos#da;1 + sin#d?/1 = cos#d^ + sin#d?/,
(11) sin# d^ — cos# d^ = cosd (cos#e~Adx — sin#e2 dy),
und endlich
dzt = p1dxi + q1dy1 = tang a (sin# dx± — cos# dy^)
oder
(12) dz± = sina (cos# e~2 dx — sin# ex dy).
Aus diesen drei Gleichungen sind alle geometrischen Beziehun-
gen leicht abzulesen.
Zunächst berechnen wir noch
(13) ds\ = dx^ + dy^ + dz2 = dx2 cos2# (1 + e-22) + dy2 sin2# (1 + e22).
Da in (13) das Glied dxdy nicht auftritt, so folgt, daß den Rich-
tungen der Krümmungslinien in E (dy=0, dz = 0, bzw. öx=0, dz=0)
in E± zwei zueinander senkrechte Richtungen entsprechen.
Aus dem involutorischen Charakter der Transformation, den
die Gleichungen (/>) lehren, folgt dann umgekehrt, daß den Rich-
tungen der Krümmungslinien in Et auch im Element E zwei zu-
einander senkrechte Richtungen entsprechen.
Da aber die Abbildung in Hinblick auf (13) nicht konform
ist, gibt es nur ein Orthogonalsystem, das wieder in ein Orthogonal-
Heinrich Liebmann:
und es wird weiter
sin a . sin a .
r =-e~\ 5 = 0, t =--— e2 .
k k
Geht man mit den daraus folgenden Werten
sina , sina ,
dp =-e dx, dq =--— e dy
k k
in die Formeln (1") und (2") ein und berücksichtigt außerdem
die Tabelle (T), so erhält man jetzt
(10) cos#da;1 + sin#d?/1 = cos#d^ + sin#d?/,
(11) sin# d^ — cos# d^ = cosd (cos#e~Adx — sin#e2 dy),
und endlich
dzt = p1dxi + q1dy1 = tang a (sin# dx± — cos# dy^)
oder
(12) dz± = sina (cos# e~2 dx — sin# ex dy).
Aus diesen drei Gleichungen sind alle geometrischen Beziehun-
gen leicht abzulesen.
Zunächst berechnen wir noch
(13) ds\ = dx^ + dy^ + dz2 = dx2 cos2# (1 + e-22) + dy2 sin2# (1 + e22).
Da in (13) das Glied dxdy nicht auftritt, so folgt, daß den Rich-
tungen der Krümmungslinien in E (dy=0, dz = 0, bzw. öx=0, dz=0)
in E± zwei zueinander senkrechte Richtungen entsprechen.
Aus dem involutorischen Charakter der Transformation, den
die Gleichungen (/>) lehren, folgt dann umgekehrt, daß den Rich-
tungen der Krümmungslinien in Et auch im Element E zwei zu-
einander senkrechte Richtungen entsprechen.
Da aber die Abbildung in Hinblick auf (13) nicht konform
ist, gibt es nur ein Orthogonalsystem, das wieder in ein Orthogonal-