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https://doi.org/10.11588/diglit.56259#0009
Der geometrische Aufbau der BÄCKLUNüschen Transformation. (A. 5) 9
Die entsprechenden Haupt-
e ,
ausrechnen, aus der folgt, daß Haupttangentenkurven in Haupt-
tangentenkurven übergehen, usw. Wir wollen aber den damit an-
gedeuteten Weg nicht beschreiten, weil die weiteren Beziehungen
auf anderm Wege bequemer gewonnen werden können (vgl. Nr. III).
Dagegen wollen wir hier zwei andre Gesichtspunkte erwähnen.
Zunächst sei der Ausartungen (a = 0 oder k = 0) gedacht. Die
erste Ausartung führt auf die abwickelbaren Flächen (Torsen),
die zweite auf die Raumkurven. In beiden Fällen erhält man tri-
viale Transformationen: Bei einer Torse hat man jedes Flächen-
element längs des ebenen Streifens, dem es angehört, um eine
Strecke k zu verschieben, bei einer Kurve jedes Flächenelement
um das in ihm gelegene Linienelement der Kurve als Achse zu
drehen. Diese Ausartungen (für A = 0 und K=co) begrenzen das
Feld der regulären Transformationen.
Sodann darf auf eine noch ungelöste Aufgabe1 hingewiesen
werden. Die Bemühungen, die Transformation dahin zu verallge-
meinern, daß man an Stelle von k und a in den Gleichungen (/>)
keine Konstanten nimmt, sondern veränderliche Größen, die von
den Koordinaten des Elements E(x^y,z^p^q) und von der Rich-
tung des Vektors PPt (im ganzen daher von sechs Parametern)
abhängen, versprechen vielleicht Aussicht auf Erfolg, wenn man
sich sowohl der Engel sehen Elementkoordinaten wie auch der
hier benützten, in Nr. I eingeführten fünf Vektoren bedient.
III.
Die Zuordnung entsprechender Linienelemente der Flächen-
elemente E und Ex kann jetzt leicht weiter verfolgt werden an
der Hand der Gleichungen (1") bis (4"), wenn man, wie dies be-
reits in der Tabelle (T) geschehen ist, das Koordinatensystem ge-
eignet wählt.
Wir wollen diese Wahl noch dahin ergänzen, daß wir im Ko-
ordinatenanfang P die ;rz-Ebene und die yz-Ebene zum ersten und
zweiten Hauptnormalschnitt machen. 1
krümmungsradien seien dann
' • 9
sm a
k , k
—-- e ,-;-
sm a sin a
1 Vgl. die in Nr. 16 des Enzyklopädieartikels III D 7 besprochene Dis-
sertation von O. Rölcke (Greifswald 1907).
Die entsprechenden Haupt-
e ,
ausrechnen, aus der folgt, daß Haupttangentenkurven in Haupt-
tangentenkurven übergehen, usw. Wir wollen aber den damit an-
gedeuteten Weg nicht beschreiten, weil die weiteren Beziehungen
auf anderm Wege bequemer gewonnen werden können (vgl. Nr. III).
Dagegen wollen wir hier zwei andre Gesichtspunkte erwähnen.
Zunächst sei der Ausartungen (a = 0 oder k = 0) gedacht. Die
erste Ausartung führt auf die abwickelbaren Flächen (Torsen),
die zweite auf die Raumkurven. In beiden Fällen erhält man tri-
viale Transformationen: Bei einer Torse hat man jedes Flächen-
element längs des ebenen Streifens, dem es angehört, um eine
Strecke k zu verschieben, bei einer Kurve jedes Flächenelement
um das in ihm gelegene Linienelement der Kurve als Achse zu
drehen. Diese Ausartungen (für A = 0 und K=co) begrenzen das
Feld der regulären Transformationen.
Sodann darf auf eine noch ungelöste Aufgabe1 hingewiesen
werden. Die Bemühungen, die Transformation dahin zu verallge-
meinern, daß man an Stelle von k und a in den Gleichungen (/>)
keine Konstanten nimmt, sondern veränderliche Größen, die von
den Koordinaten des Elements E(x^y,z^p^q) und von der Rich-
tung des Vektors PPt (im ganzen daher von sechs Parametern)
abhängen, versprechen vielleicht Aussicht auf Erfolg, wenn man
sich sowohl der Engel sehen Elementkoordinaten wie auch der
hier benützten, in Nr. I eingeführten fünf Vektoren bedient.
III.
Die Zuordnung entsprechender Linienelemente der Flächen-
elemente E und Ex kann jetzt leicht weiter verfolgt werden an
der Hand der Gleichungen (1") bis (4"), wenn man, wie dies be-
reits in der Tabelle (T) geschehen ist, das Koordinatensystem ge-
eignet wählt.
Wir wollen diese Wahl noch dahin ergänzen, daß wir im Ko-
ordinatenanfang P die ;rz-Ebene und die yz-Ebene zum ersten und
zweiten Hauptnormalschnitt machen. 1
krümmungsradien seien dann
' • 9
sm a
k , k
—-- e ,-;-
sm a sin a
1 Vgl. die in Nr. 16 des Enzyklopädieartikels III D 7 besprochene Dis-
sertation von O. Rölcke (Greifswald 1907).