Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A.5)

Heinrich Liebmann:

Dazu ist notwendig und hinreichend, daß diese sechs Glei-
chungen, in denen man etwa die vier Größen rx, und £:ex
als Unbekannte wählen kann, miteinander verträglich sind. Die
beiden Bedingungen sind infolge des symmetrischen Baues leicht
zu finden. Man erhält nämlich aus [1,3] und [2,4] durch Elimi-
nation
— sin2a = k2 rf (r t — s2)
oder wegen
n2 = l+p2 + q2,
, ' rt — s2 sin2 a
(l+p2 + ^2)2 = F“
und ebenso aus [1,2] und [3,4]
. . Z-J 4 - s2 = sin2 a
U (l+P? + ?i)2 k2 '

Damit ist die Haupteigenschaft der Bäcklund sehen Trans-
formation erwiesen, nämlich gezeigt, daß die Flächen konstanter
negativer Krümmung

in gleichartige Flächen übergehen.
Genauer gesagt: Bei der Transformation werden den co2 Ele-
menten einer Fläche oo1 • oo2 = oo3 Flächenelemente zugeordnet, die
im allgemeinen sich nicht wieder in Vereine von oo2 Elementen
anordnen lassen. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Ausgangs-
fläche das konstante negative Krümmungsmaß (9) besitzt. Die
ihren Elementen zugeordneten oo3 Elemente lassen sich dann in
oo1 Vereine anordnen, die wieder Flächen von demselben Krüm-
mungsmaß (9) bilden.
Bei der weiteren Untersuchung kann man dann die Gleichun-
gen [2,4] und [3,4] fortlassen, (7) und (8) an ihrer Stelle benützen.
Man kann z. B. die Beziehung

n2 (dxdp + dydq) = r2i(dxxdp1Jr dy^dq^e