Der geometrische Aufbau der BÄcKLUNDschen Transformation. (A. 5) 7
(S)
(dx, dy) = e
= (1.2),
(dx,dp^) = (dx, rdx + sdy) —$•£
= (1-3),
(dx,dq) = (dx, sdx + tdy) =t-£
= (1.4),
(dy,dp) = (dy, rdx + sdy) =—r.e
= (2.3),
(dy,dq) = (dy, sdx + tdy) =—s.e
= (2,4),
(dp,dq) = (rdx + sdy, sdx + tdy) = (rt — s2)
^ = (3,4),
der eine entsprechende Tabelle (£x) an die Seite zu stellen ist. —
Danach ist der Weg für die Lösung der Hauptaufgabe vorgeschrie-
ben: Man hat jetzt die linken Seiten und die rechten Seiten der
Gleichungen (1") bis (4") paarweise zu kombinieren nach Vorbild
der Tabellen (E) und (E^, erhält also z. B. aus (1") und (2") links
k (b u (dx,dp) + bv (dx, dq) — au(dy,dp) — av (dy, dq))
= kn±(aur + (av + bu)s + bvt) £
und rechts
S*n a - (bi u — a1v)(dx1,d y^
ni
sin a . .
—-(— tzJ • £t = — sm a
oder
[1,2] ... kn±(a ur + (av + b u) s + b vt) -e = — sina • £r,
und ebenso der Reihe nach
[1.3] ...sina’e = Än(a1wr1+(a1y + &1w)51 + &1yi1)’e1,
[1.4] ... (a2 r + 2ab s + b21) •£ — -~(a%i\ + 2a1b1s1 + b2t^) • ,
[2.3] ... (u2 r+2 u vs+v2 t) • £ = - (u21\ + 2 uv s± + v2t±) • ,
[2.4] ... k r? (r t - s2) • £ = - sin a (u a± + (at v + bx u) + + b} v tx) • £j,
[3.4] ...sina (aur + (av + bu)s + bvt) • £ = kn\ (r^ — s2^ • .
Jetzt kann entschieden werden, welche Flächen (zweidimensionale
Flächenelementvereine) wieder in Flächen übergehen.
(S)
(dx, dy) = e
= (1.2),
(dx,dp^) = (dx, rdx + sdy) —$•£
= (1-3),
(dx,dq) = (dx, sdx + tdy) =t-£
= (1.4),
(dy,dp) = (dy, rdx + sdy) =—r.e
= (2.3),
(dy,dq) = (dy, sdx + tdy) =—s.e
= (2,4),
(dp,dq) = (rdx + sdy, sdx + tdy) = (rt — s2)
^ = (3,4),
der eine entsprechende Tabelle (£x) an die Seite zu stellen ist. —
Danach ist der Weg für die Lösung der Hauptaufgabe vorgeschrie-
ben: Man hat jetzt die linken Seiten und die rechten Seiten der
Gleichungen (1") bis (4") paarweise zu kombinieren nach Vorbild
der Tabellen (E) und (E^, erhält also z. B. aus (1") und (2") links
k (b u (dx,dp) + bv (dx, dq) — au(dy,dp) — av (dy, dq))
= kn±(aur + (av + bu)s + bvt) £
und rechts
S*n a - (bi u — a1v)(dx1,d y^
ni
sin a . .
—-(— tzJ • £t = — sm a
oder
[1,2] ... kn±(a ur + (av + b u) s + b vt) -e = — sina • £r,
und ebenso der Reihe nach
[1.3] ...sina’e = Än(a1wr1+(a1y + &1w)51 + &1yi1)’e1,
[1.4] ... (a2 r + 2ab s + b21) •£ — -~(a%i\ + 2a1b1s1 + b2t^) • ,
[2.3] ... (u2 r+2 u vs+v2 t) • £ = - (u21\ + 2 uv s± + v2t±) • ,
[2.4] ... k r? (r t - s2) • £ = - sin a (u a± + (at v + bx u) + + b} v tx) • £j,
[3.4] ...sina (aur + (av + bu)s + bvt) • £ = kn\ (r^ — s2^ • .
Jetzt kann entschieden werden, welche Flächen (zweidimensionale
Flächenelementvereine) wieder in Flächen übergehen.