Der geometrische Aufbau der BÄCKLUNDschen Transformation. (A. 5) 11
System übergeht; diese zugeordneten Orthogonalsysteme sind da-
her die Krümmungslinien. - Wir haben also das Ergebnis:
Bei der BÄCKLUNDschen Transformation E-+Ex gehen Krüm-
mungslinien in Krümmungslinien über.
Wir fragen weiter: Welche Linienelemente ändern ihre Länge
nicht, d.h. wie ist dy'.dx zu wählen, damit
ds\ = d^2cos2#(l + e~2A) + dy2 sin2# (1 + e2A)
= ds2 = dx2 + dy2
wird? — Dies führt auf die Bedingung
da2 (sin2# - cos2#e-2A) + d?/2(cos2# - sin2#e2A)
= (sin2 # ex - cos2 # (d x2 e~x - dy2 eÄ) = 0
oder
k
e~kdx2 — e*dy2 = —-(r dx2 + 2sdxdy + tcly2) = 0.
Diese Gleichung gibt aber die Richtungen der Haupttangenten-
kurven an.
Es ergibt sich also, daß bei der Abbildung E—yE± die Haupt-
tangentenkurven in Kurven derselben Länge übergehen. Ähnlich
wie bei den Krümmungslinien schließt man nun weiter: Den
Haupttangentenkurven der zugeordneten Fläche entsprechen auf
der ersten Fläche Kurven mit demselben Linienelement. Da es
aber gerade zwei Kurvenscharen gibt, die ihre Länge nicht ändern,
so folgt:
Bei der Transformation E-+Er gehen die Haupttangentenkur-
ven in die Haupttangentenkurven über; die Längen einander ent-
sprechender Strecken sind gleich.
Man erhält auch leicht Aufschluß über die Singularitäten, die
die Transformation hineinbringt, wenn man den Winkel <p± der
abgebildeten Haupttangentenkurven berechnet. Dieser Winkel
wird dann zu Null (oder n), wenn einer der beiden Hauptkrüm-
mungsradien zu Null wird, der andre unbegrenzt wächst, an einer
Stelle also, wo eine Rückkehrkante auftritt.
System übergeht; diese zugeordneten Orthogonalsysteme sind da-
her die Krümmungslinien. - Wir haben also das Ergebnis:
Bei der BÄCKLUNDschen Transformation E-+Ex gehen Krüm-
mungslinien in Krümmungslinien über.
Wir fragen weiter: Welche Linienelemente ändern ihre Länge
nicht, d.h. wie ist dy'.dx zu wählen, damit
ds\ = d^2cos2#(l + e~2A) + dy2 sin2# (1 + e2A)
= ds2 = dx2 + dy2
wird? — Dies führt auf die Bedingung
da2 (sin2# - cos2#e-2A) + d?/2(cos2# - sin2#e2A)
= (sin2 # ex - cos2 # (d x2 e~x - dy2 eÄ) = 0
oder
k
e~kdx2 — e*dy2 = —-(r dx2 + 2sdxdy + tcly2) = 0.
Diese Gleichung gibt aber die Richtungen der Haupttangenten-
kurven an.
Es ergibt sich also, daß bei der Abbildung E—yE± die Haupt-
tangentenkurven in Kurven derselben Länge übergehen. Ähnlich
wie bei den Krümmungslinien schließt man nun weiter: Den
Haupttangentenkurven der zugeordneten Fläche entsprechen auf
der ersten Fläche Kurven mit demselben Linienelement. Da es
aber gerade zwei Kurvenscharen gibt, die ihre Länge nicht ändern,
so folgt:
Bei der Transformation E-+Er gehen die Haupttangentenkur-
ven in die Haupttangentenkurven über; die Längen einander ent-
sprechender Strecken sind gleich.
Man erhält auch leicht Aufschluß über die Singularitäten, die
die Transformation hineinbringt, wenn man den Winkel <p± der
abgebildeten Haupttangentenkurven berechnet. Dieser Winkel
wird dann zu Null (oder n), wenn einer der beiden Hauptkrüm-
mungsradien zu Null wird, der andre unbegrenzt wächst, an einer
Stelle also, wo eine Rückkehrkante auftritt.