12 (A.5)
Heinrich Liebmann:
Aus den Richtungen
dx : dy : dz = ?/2 : e“A/2 : 0
<5x : dy \ dz = eA/2 : — e~2/2 : 0
der Haupttangentenkurven in E kann man aber mit Verwendung
der Formeln (10) bis (12) für cp± leicht berechnen:
dx1dx1 + dy1dy1 + dz± dzt
cos^ =--—--
ds1ds1
= [(cos^c^j + sin'ddy^ (cos^da^ + sin^ÖT/J
+ (sin^drq — cos'&dy^ (sin^d^ — cos'&dy^ + dz1dz1] :d^dSj
= cos 2'd
oder
<^ = 2#. ,
Eine Singularität (<?’1 = 0 oder (pi=n) tritt also auf, wenn PPt
gerade die Richtung einer Krümmungslinie in E berührt (# = 0
oder ^ = tt/2). Man könnte solche Singularitäten, die z. B. an der
aus der Pseudosphäre abgeleiteten »Komplementärfläche« deutlich
hervortreten1, in gewissem Sinne »unwesentlich« nennen, weil sie
durch die Bäcklund sehe Transformation hineinkommen und um-
gekehrt mit ihrer Hilfe wieder beseitigt werden können. Konische
Punkte wären dagegen als »wesentliche« Singularitäten zu be-
zeichnen.
IV.
Konstruktion des zugeordneten Krümmungselements.
Die Gleichungen (10) bis (12) gestatten auch, die Konstruk-
tion des zugeordneten Krümmungselements anzugeben. Dabei
mögen jetzt die Bestimmungsstücke des zweiten Elements von
denen des ersten durch Akzente (') unterschieden werden.
1 Vgl. Fig. 16 auf S.471 von BiANCHi-(Lukat), Vorlesungen über Diffe-
rentialgeometrie (Leipzig 1899).
Heinrich Liebmann:
Aus den Richtungen
dx : dy : dz = ?/2 : e“A/2 : 0
<5x : dy \ dz = eA/2 : — e~2/2 : 0
der Haupttangentenkurven in E kann man aber mit Verwendung
der Formeln (10) bis (12) für cp± leicht berechnen:
dx1dx1 + dy1dy1 + dz± dzt
cos^ =--—--
ds1ds1
= [(cos^c^j + sin'ddy^ (cos^da^ + sin^ÖT/J
+ (sin^drq — cos'&dy^ (sin^d^ — cos'&dy^ + dz1dz1] :d^dSj
= cos 2'd
oder
<^ = 2#. ,
Eine Singularität (<?’1 = 0 oder (pi=n) tritt also auf, wenn PPt
gerade die Richtung einer Krümmungslinie in E berührt (# = 0
oder ^ = tt/2). Man könnte solche Singularitäten, die z. B. an der
aus der Pseudosphäre abgeleiteten »Komplementärfläche« deutlich
hervortreten1, in gewissem Sinne »unwesentlich« nennen, weil sie
durch die Bäcklund sehe Transformation hineinkommen und um-
gekehrt mit ihrer Hilfe wieder beseitigt werden können. Konische
Punkte wären dagegen als »wesentliche« Singularitäten zu be-
zeichnen.
IV.
Konstruktion des zugeordneten Krümmungselements.
Die Gleichungen (10) bis (12) gestatten auch, die Konstruk-
tion des zugeordneten Krümmungselements anzugeben. Dabei
mögen jetzt die Bestimmungsstücke des zweiten Elements von
denen des ersten durch Akzente (') unterschieden werden.
1 Vgl. Fig. 16 auf S.471 von BiANCHi-(Lukat), Vorlesungen über Diffe-
rentialgeometrie (Leipzig 1899).