Der geometrische Aufbau der Bäcklund sehen Transformation. (A. 5) 13
Das erste Element E ist gegeben durch P, dann die Normale
mit den auf ihr gelegenen Krümmungsmittelpunkten und Z2
der Hauptnormalschnitte; dabei ist
PZ2 = R2 = - ,
sm a
und die erste Krümmungslinie ist in P gegeben durch
dy = dz = 0 (dx + 0),
die zweite durch
<5x = dz = 0 (dy =j= 0).
Die Gleichungen (10) bis (12) geben jetzt
cos^rf^ + sm,&dy1 = cosddx,
sinddXi — cos d dyt = cosa cosd e~* dx,
dzi = sin a cosd e~Adx
und zeigen, wie man die Richtung der zugeordneten Krümmungs-
linie bestimmen kann.
Man kann nämlich den durch die Gleichungen
(£i — ^) cos d + (r]1 — 2/i) sin d = — k,
(£i — rq) sin d — — y^ cos d — —k cos a e~x ,
C1 — zx = - & sina e-A
gegebenen Punkt (£t, , Ci) der Tangente der ersten Krüm-
mungslinie des Elements E’ leicht angeben. Setzt man die Werte
= 0
Xi = k cos d , y± = k sin $ , zt
Das erste Element E ist gegeben durch P, dann die Normale
mit den auf ihr gelegenen Krümmungsmittelpunkten und Z2
der Hauptnormalschnitte; dabei ist
PZ2 = R2 = - ,
sm a
und die erste Krümmungslinie ist in P gegeben durch
dy = dz = 0 (dx + 0),
die zweite durch
<5x = dz = 0 (dy =j= 0).
Die Gleichungen (10) bis (12) geben jetzt
cos^rf^ + sm,&dy1 = cosddx,
sinddXi — cos d dyt = cosa cosd e~* dx,
dzi = sin a cosd e~Adx
und zeigen, wie man die Richtung der zugeordneten Krümmungs-
linie bestimmen kann.
Man kann nämlich den durch die Gleichungen
(£i — ^) cos d + (r]1 — 2/i) sin d = — k,
(£i — rq) sin d — — y^ cos d — —k cos a e~x ,
C1 — zx = - & sina e-A
gegebenen Punkt (£t, , Ci) der Tangente der ersten Krüm-
mungslinie des Elements E’ leicht angeben. Setzt man die Werte
= 0
Xi = k cos d , y± = k sin $ , zt