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https://doi.org/10.11588/diglit.56261#0005
Integrale partieller Differentialgleichungen.
(A.7) 5
determinante D nach sich ziehen würde, noch eine, y explizite ent-
haltende, der Gleichung (4) nicht zugehörige Differentialgleichung
(6) y, = .0
\ <^1
befriedigen, weil die Elimination von y zwischen (4) und (6), welche
möglich ist, weil die Gleichungen nicht einander zugehörig sein soll-
ten, wieder eine Differentialgleichung der Form (5) liefern würde,
welche y nicht explizite enthält, und somit eine von den Para-
metern freie Beziehung zwischen den Größen (a), aus denen aber
die Determinante D gegen die Voraussetzung gleich Null folgte.
Es gibt somit für y=F in dem Fall, daß D^O ist, stets eine
und außer den zugehörigen nur eine partielle Differentialgleichung
erster Ordnung, von welcher fenes ein Integral und somit ein voll-
ständiges Integral ist.
Genügt jedoch die Funktion F(x^,... xn, at,... der Bedin-
gung Z) = 0, so findet eine von den Parametern freie Beziehung
zwischen den n Größen (a) oder weniger derselben statt, oder es
ist y = F ein Integral einer, die abhängige Variable y nicht expli-
zite enthaltenden partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
(7)
,/ ly
iki, • 7—
\
= 0,
kann aber auch mehreren solchen nicht einander zugehörigen und
auch die abhängige Variable y explizite enthaltenden Differential-
gleichungen genügen, worauf wir nachher zum Zwecke der Fest-
stellung der Vollständigkeit dieses Integrals für eine jener Diffe-
rentialgleichungen näher eingehen werden; zunächst genügt es, die
Differentialgleichung (7) als durch Fortschaffen der Parameter
av, a2, ...an aus den Gleichungen. (3) entstanden anzunehmen. Ent-
hält die für y = F bestehende Differentialgleichung (7) alle n parti-
ellen Differentialquotienten von y, besteht also nach (3) eine von
den Parametern freie identische Beziehung zwischen den Größen (a)
ZX / dF ^F\ A
(8) = 0,
so folgt durch Differentiation nach a±, a2,... an allgemein:
(A.7) 5
determinante D nach sich ziehen würde, noch eine, y explizite ent-
haltende, der Gleichung (4) nicht zugehörige Differentialgleichung
(6) y, = .0
\ <^1
befriedigen, weil die Elimination von y zwischen (4) und (6), welche
möglich ist, weil die Gleichungen nicht einander zugehörig sein soll-
ten, wieder eine Differentialgleichung der Form (5) liefern würde,
welche y nicht explizite enthält, und somit eine von den Para-
metern freie Beziehung zwischen den Größen (a), aus denen aber
die Determinante D gegen die Voraussetzung gleich Null folgte.
Es gibt somit für y=F in dem Fall, daß D^O ist, stets eine
und außer den zugehörigen nur eine partielle Differentialgleichung
erster Ordnung, von welcher fenes ein Integral und somit ein voll-
ständiges Integral ist.
Genügt jedoch die Funktion F(x^,... xn, at,... der Bedin-
gung Z) = 0, so findet eine von den Parametern freie Beziehung
zwischen den n Größen (a) oder weniger derselben statt, oder es
ist y = F ein Integral einer, die abhängige Variable y nicht expli-
zite enthaltenden partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
(7)
,/ ly
iki, • 7—
\
= 0,
kann aber auch mehreren solchen nicht einander zugehörigen und
auch die abhängige Variable y explizite enthaltenden Differential-
gleichungen genügen, worauf wir nachher zum Zwecke der Fest-
stellung der Vollständigkeit dieses Integrals für eine jener Diffe-
rentialgleichungen näher eingehen werden; zunächst genügt es, die
Differentialgleichung (7) als durch Fortschaffen der Parameter
av, a2, ...an aus den Gleichungen. (3) entstanden anzunehmen. Ent-
hält die für y = F bestehende Differentialgleichung (7) alle n parti-
ellen Differentialquotienten von y, besteht also nach (3) eine von
den Parametern freie identische Beziehung zwischen den Größen (a)
ZX / dF ^F\ A
(8) = 0,
so folgt durch Differentiation nach a±, a2,... an allgemein: