Integrale partieller Differentialgleichungen.
(A.7) 9
Sind nun die bezeichneten expliziten Parameter in der Tat
in den einzelnen Gleichungen (15) enthalten, so würde gegen die
Voraussetzung der Unabhängigkeit der n willkürlichen konstanten
Parameter durch Elimination der n — 1 Funktionen (y) aus den n
Gleichungen (15), oder schon aus einer dieser Gleichungen, wenn
der explizite Parameter fehlt, eine Beziehung der Form folgen:
(16)
/ 3F 3F dF 3F\
h\xi,-xn, -—, ... --, --,... -— = 0,
woraus sich für y nach (3) die Differentialgleichung ergäbe:
(17)
, /
/i
\
2 y
^Xn)
welche die abhängige Variable y gar nicht, und nur n—1 partielle
Differentialquotienten enthält, was, wie wir eben gesehen, mit der
Abhängigkeit der n Parameter voneinander zusammenfällt.
Dem Verschwinden der Determinante D entspricht im allgemeinen
eine Differentialgleichung für F^=y, welche y nicht explizite, aber
sämtliche n partielle Ableitungen enthält; dafür, daß die Determi-
nante D einer von y freien Differentialgleichung mit weniger als n
Ableitungen entspricht, ist notwendig und hinreichend, daß D da-
durch den Wert Null annimmt, daß alle Unterdeterminanten erster
Ordnung von D für sämtliche Glieder einer Vertikalreihe verschwinden.
Sei nun eine für 2) = 0 durch Elimination der Parameter aus
den Gleichungen (3) sich ergebende Differentialgleichung
(18)
/ dy 2y cy \
f [xi, — xn, -x—, A— = 0 ’
\ dx± 3 xn /
und es genügte y —F noch einer andern nicht zugehörigen parti-
ellen Differentialgleichung erster Ordnung, welche ebenfalls y nicht
explizite enthält,
, / ^y
/1 I ••• xni a ’ ’
\ ,. dxt ox2_
V 0,
(A.7) 9
Sind nun die bezeichneten expliziten Parameter in der Tat
in den einzelnen Gleichungen (15) enthalten, so würde gegen die
Voraussetzung der Unabhängigkeit der n willkürlichen konstanten
Parameter durch Elimination der n — 1 Funktionen (y) aus den n
Gleichungen (15), oder schon aus einer dieser Gleichungen, wenn
der explizite Parameter fehlt, eine Beziehung der Form folgen:
(16)
/ 3F 3F dF 3F\
h\xi,-xn, -—, ... --, --,... -— = 0,
woraus sich für y nach (3) die Differentialgleichung ergäbe:
(17)
, /
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\
2 y
^Xn)
welche die abhängige Variable y gar nicht, und nur n—1 partielle
Differentialquotienten enthält, was, wie wir eben gesehen, mit der
Abhängigkeit der n Parameter voneinander zusammenfällt.
Dem Verschwinden der Determinante D entspricht im allgemeinen
eine Differentialgleichung für F^=y, welche y nicht explizite, aber
sämtliche n partielle Ableitungen enthält; dafür, daß die Determi-
nante D einer von y freien Differentialgleichung mit weniger als n
Ableitungen entspricht, ist notwendig und hinreichend, daß D da-
durch den Wert Null annimmt, daß alle Unterdeterminanten erster
Ordnung von D für sämtliche Glieder einer Vertikalreihe verschwinden.
Sei nun eine für 2) = 0 durch Elimination der Parameter aus
den Gleichungen (3) sich ergebende Differentialgleichung
(18)
/ dy 2y cy \
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\ dx± 3 xn /
und es genügte y —F noch einer andern nicht zugehörigen parti-
ellen Differentialgleichung erster Ordnung, welche ebenfalls y nicht
explizite enthält,
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