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https://doi.org/10.11588/diglit.56261#0012
12 (A.7)
Leo Koenigsberger:
(24)
= 0
D.
32f
32F
3F
32F
32 F
3^3 ax
3^0_i3ai
3 a±
3^+i3«i
d xnda1
d2F
32F
ff
FF
32 F
3^ 3^
3 «0-1
%xß+^ao_x
^xnd ao_t
32 F
32F
3F
Ff
FF
3^i 3 aa+i
%Q—l^«O+l
^«0+1
'^«'(o+l^«o+l
dxndac+1
d*F
32E
3F
32F
d2F
3^3^
3aM
Xq+1 «n
^xjan
erhalten, und somit als Bedingung dafür, daß die Gleichung (18)
mit keiner Gleichung (20) das Integral y=F gemein hat, die Bedin-
gungen finden, daß für feden Index o = 1,2,...tz die Determinanten
D q 1 1 Dq2 1 ' ' ' Dßn
von Null verschieden sind.
Fassen wir die eben gewonnenen Resultate zusammen, so er-
geben sich
als hinreichende Bedingung dafür, daß y = F ein vollständiges
Integral einer für D — 0 gewonnenen, von y freien partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung ist, die, daß für keine Vertikalreihe
von D die zu allen Gliedern derselben gehörigen Unterdeterminanten
erster Ordnung verschwinden, und daß für feden Index Q = i,cl,...n
die Determinanten Dqi, Dqz, . von Null verschieden sind.
Um also für D = 0 zu entscheiden, ob ein gegebenes Integral
y=F der entsprechenden, von y freien partiellen Differentialglei-
chung ein vollständiges derselben sei, hat man zunächst die Unter-
determinanten erster Ordnung zu bilden, welche zu den Elementen
je einer Vertikalreihe gehören; stößt man auf eine solche, die für
alle ihre Elemente verschwindende Unterdeterminanten erster
Ordnung liefert, so ist die gegebene Differentialgleichung unvoll-
ständig, und zwar hat sie mit einer ebenfalls von y freien Diffe-
rentialgleichung das Integral y = F gemein. Hat aber keine der
Vertikalreihen diese Eigenschaft, so bilde man die sämtlichen De-
terminanten
Leo Koenigsberger:
(24)
= 0
D.
32f
32F
3F
32F
32 F
3^3 ax
3^0_i3ai
3 a±
3^+i3«i
d xnda1
d2F
32F
ff
FF
32 F
3^ 3^
3 «0-1
%xß+^ao_x
^xnd ao_t
32 F
32F
3F
Ff
FF
3^i 3 aa+i
%Q—l^«O+l
^«0+1
'^«'(o+l^«o+l
dxndac+1
d*F
32E
3F
32F
d2F
3^3^
3aM
Xq+1 «n
^xjan
erhalten, und somit als Bedingung dafür, daß die Gleichung (18)
mit keiner Gleichung (20) das Integral y=F gemein hat, die Bedin-
gungen finden, daß für feden Index o = 1,2,...tz die Determinanten
D q 1 1 Dq2 1 ' ' ' Dßn
von Null verschieden sind.
Fassen wir die eben gewonnenen Resultate zusammen, so er-
geben sich
als hinreichende Bedingung dafür, daß y = F ein vollständiges
Integral einer für D — 0 gewonnenen, von y freien partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung ist, die, daß für keine Vertikalreihe
von D die zu allen Gliedern derselben gehörigen Unterdeterminanten
erster Ordnung verschwinden, und daß für feden Index Q = i,cl,...n
die Determinanten Dqi, Dqz, . von Null verschieden sind.
Um also für D = 0 zu entscheiden, ob ein gegebenes Integral
y=F der entsprechenden, von y freien partiellen Differentialglei-
chung ein vollständiges derselben sei, hat man zunächst die Unter-
determinanten erster Ordnung zu bilden, welche zu den Elementen
je einer Vertikalreihe gehören; stößt man auf eine solche, die für
alle ihre Elemente verschwindende Unterdeterminanten erster
Ordnung liefert, so ist die gegebene Differentialgleichung unvoll-
ständig, und zwar hat sie mit einer ebenfalls von y freien Diffe-
rentialgleichung das Integral y = F gemein. Hat aber keine der
Vertikalreihen diese Eigenschaft, so bilde man die sämtlichen De-
terminanten