Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

i (A.8)

Oskar Perron:

Die Analogie der beiden Probleme springt in die Augen.
Marko ff widmet nun den größten Teil seiner ersten und seine
ganze zweite Arbeit der Frage, wann die gesuchte obere Grenze
kleiner als 3 ist, und bringt diese Frage zur völligen Erledigung.
Die analoge Frage nach den Zahlen £, für welche ist,
habe ich in I, §4 berührt, wo unendlich viele unterhalb 3 gelegene
Werte, die die Funktion M(%) annimmt, nachgewiesen sind. Man
kann aber durch fast wörtliche Übertragung der Markoff sehen
Überlegungen die Gesamtheit dieser Zahlen ermitteln, wobei sich
folgendes Resultat ergibt:
Satz 1. Die Funktion nimmt unterhalb 3 nur abzahlbar
unendlich viele Werte an mit der einzigen Häufungsstelle 3. Diese
Werte decken sich mit den Zahlen
wo Q die Reihe der Markoff sehen Zahlen, d. h. derjenigen ganzen
positiven Zahlen durchläuft, welche mit zwei andern ganzen positiven
Zahlen Qi,Q% zusammen die Gleichung erfüllen:
Q* + Q\ + Q* = 3QQ,Q,.
Und zwar hat den obigen Wert für alle und nur die Zahlen $,
welche äquivalent sind mit einer Zahl der Form
]/90^4+<2+2P
2(?
wobei P = QiJQz (mod 0 ist3.
3 Vermutlich sind alle Zahlen dieser Form miteinander äquivalent. Jeden-
falls entstehen, wenn man P modulo Q ändert, nur äquivalente Zahlen, eben-
so, wenn man mit Q2 vertauscht, wodurch P in — P übergeht. In Wahr-
heit kann man aber zu jeder MARKOFFSchen Zahl Q die Zahlen Q2 stets
auf unendlich viele Arten wählen, wobei es genügt, sich auf solche Q1,Q2 zu
beschränken, die nicht größer als Q sind; ob dann die zugehörigen P lauter
äquivalente Zahlen £ liefern, scheint zweifelhaft. Die Zahl P genügt aber
stets auch der Kongruenz _P2 + 10 (modQ), und dadurch ist sie zum minde-
sten für die kleineren MARKOFFSchen Zahlen bereits eindeutig bestimmt (d. h.
bis aufs Vorzeichen und bis auf ein Vielfaches von Q).