Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. II. (A. 8) 7
Aus den Formeln (4) und (5) von I liest man ohne weiteres ab,
daß der größtmögliche derartige Wert von M(£) der folgende ist:
12,11 + 10,1,21 =
Damit M(l-) diesen maximalen Wert hat, ist offenbar notwendig
und hinreichend, daß der Kettenbruch, in den sich £ entwickeln
läßt, von einer gewissen Stelle an nur Einser und Zweier enthält6
und dabei beliebig lange Serien der Form
2,1,2,1,2,1,...,2,1
aufweist. Die Menge dieser Zahlen £, zu denen insbesondere die
Zahl ]/3 = [1,1,2] gehört, hat offenbar die Mächtigkeit des Kon-
tinuums.
Wenden wir uns jetzt zur Ungleichung J/(£)>]/12. Nach
dem Bewiesenen ist diese nur möglich, wenn unendlich oft bv > 3
ist. Nach I Satz 6 ist dann aber sogleich M (£) 2> |/13. Was nun
die Gleichheit = /13 anbelangt, so folgt aus I Satz 3, daß
sie jedenfalls für
erfüllt ist, und nach I Satz 2 natürlich auch für alle damit äqui-
valenten Zahlen.
Man sieht aber leicht, daß die Gleichung J/(£) = ]/13 auch
nur für diese Zahlen gilt. Denn jedenfalls darf nicht unendlich
oft £v>4 sein, weil sonst nach I Satz 6 schon M(i) > ]/2Ö wäre.
Anderseits muß aber der Teilnenner 3 unendlich oft vorkommen.
Wenn nun nicht von einer gewissen Stelle an lauter Dreier kämen,
so müßte einer der folgenden sechs Zahlenkomplexe
3,1,1; 3,1,2; 3,1,3; 3,2,1; 3,2,2; 3,2,3
unendlich oft auftreten. Ist das etwa der Komplex 3, e, so ist
nach I Satz 5
6 Sonst wäre nach I Satz 6 schon M(£)^]/13.
Aus den Formeln (4) und (5) von I liest man ohne weiteres ab,
daß der größtmögliche derartige Wert von M(£) der folgende ist:
12,11 + 10,1,21 =
Damit M(l-) diesen maximalen Wert hat, ist offenbar notwendig
und hinreichend, daß der Kettenbruch, in den sich £ entwickeln
läßt, von einer gewissen Stelle an nur Einser und Zweier enthält6
und dabei beliebig lange Serien der Form
2,1,2,1,2,1,...,2,1
aufweist. Die Menge dieser Zahlen £, zu denen insbesondere die
Zahl ]/3 = [1,1,2] gehört, hat offenbar die Mächtigkeit des Kon-
tinuums.
Wenden wir uns jetzt zur Ungleichung J/(£)>]/12. Nach
dem Bewiesenen ist diese nur möglich, wenn unendlich oft bv > 3
ist. Nach I Satz 6 ist dann aber sogleich M (£) 2> |/13. Was nun
die Gleichheit = /13 anbelangt, so folgt aus I Satz 3, daß
sie jedenfalls für
erfüllt ist, und nach I Satz 2 natürlich auch für alle damit äqui-
valenten Zahlen.
Man sieht aber leicht, daß die Gleichung J/(£) = ]/13 auch
nur für diese Zahlen gilt. Denn jedenfalls darf nicht unendlich
oft £v>4 sein, weil sonst nach I Satz 6 schon M(i) > ]/2Ö wäre.
Anderseits muß aber der Teilnenner 3 unendlich oft vorkommen.
Wenn nun nicht von einer gewissen Stelle an lauter Dreier kämen,
so müßte einer der folgenden sechs Zahlenkomplexe
3,1,1; 3,1,2; 3,1,3; 3,2,1; 3,2,2; 3,2,3
unendlich oft auftreten. Ist das etwa der Komplex 3, e, so ist
nach I Satz 5
6 Sonst wäre nach I Satz 6 schon M(£)^]/13.