Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. II. (A. 8) 9

ist für eine Menge von Zahlen g erfüllt, die die Mächtigkeit des Kon-
tinuums hat. Außerdem gibt es auch Zahlen l-, für welche M(£) nur
7 7 - z • • -n 7 / 243+ 65 .
beliebig wenig großer als —-ist.
Zum Beweis beachte man, daß

y 243+ 65

22

1
3,2,1 + r-^ ._ .. = [3,2,11 + [0,3,2,1
[3,2,1]

ist. Wenn nun in der Kettenbruchentwicklung von £ unendlich
oft bv >3 ist, so ist nach I Satz 6

. . /— , V 243 + 65
W) >)/20>4> I —

so daß wir uns auf Kettenbrüche beschränken dürfen, in denen
bv<,3 ist, und zwar muß unendlich oft bv = 3 und auch unendlich
oft bv< 3 sein, so daß wenigstens einer der beiden Zahlenkomplexe
3,1 oder 3,2 unendlich oft auftritt. Im ersten Fall muß ein Zahlen-
komplex der Form 3,1,6 unendlich oft auftreten, und dann ist
nach I Satz 5


]/243 + 65
22

Im zweiten Fall dagegen tritt einer der folgenden drei Zahlen
komplexe unendlich oft auf:

(*)

3, 2,3 ,
3, 2, 2 ,
3, 2, 1 .

In den Fällen (A) und (5) folgt wieder aus I Satz 5:

. , 1 , - , 1 1/243 + 65
> 3,2,2 +T=T> 3,2,1 +v -=j- = - +5-
1 [3,2,2] [3,2,1] 22