Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

(A. 9)

Heinrich Liebmann:

Eine triviale Lösung der ersten Aufgabe stellen die Rotations-
flächen dar: Die Parallelkreise sind zugleich geodätische Parallelen
und Krümmungslinien. Für die zweite Aufgabe gibt es ebenfalls
von vornherein zwei sehr einfache Lösungen, nämlich einmal die
Zylinder, deren Mantellinien ja die Asymptotenlinien der Fläche
sind und zugleich Orthogonaltrajektorien der Schnitte senkrecht
zur Achse, also einer Schar von geodätischen Linien. Dazu kom-
men noch die Schraubenflächen
/v| #=zzcos7;, y-usinL’, z = av,
M ds2 = du2 + (a2 + u2)dv2 ;
die Asymptotenlinien dieser Flächen sind die erzeugenden Geraden
(v = const) und die Schraubenlinien (u = const); letztere aber sind
zugleich geodätische Parallelkurven.

I.
Die erste Aufgabe läßt sich mit Hilfe von (1) vollständig lö-
sen. Die (zueinander senkrechten) Parameterkurvenscharen müssen
hier alle beide Krümmungslinien sein, denn für die eine Schar ist
dies vorgeschrieben, woraus es für die zweite Schar wegen der
Orthogonalität von selber folgt.
In diesem Fall ist M gleich Null1. Die Formeln (1) geben dann

L2 = 0 ,
LN = -gllg,
N,-glgL + ^-N.
$
Es wird also L eine Funktion von u allein
L = L (u) ,
sodann
a = - JpJL
L(w)

1 Scheffers, a. a. O., Tafel XIX.