6 (A. 9)
Heinrich Liebmann:
auch sofort gefunden werden kann! Die geodätischen Kurven
y = const müssen, wie schon zu Anfang gesagt wurde, ebenfalls
Krümmungslinien sein; geodätische Linien aber, die zugleich
Krümmungslinien sind, sind notwendig ebene Kurven1, und die
Kurvenebene ist für alle ihre Schnittpunkte mit der Fläche zu-
gleich Normalebene.
Demnach besteht eine Fläche von der vorgeschriebenen Eigen-
schaft notwendig aus einer Schar von Orthogonaltrajektorien einer
Ebenenschar — diese Orthogonaltrajektorien sind auf der Fläche
geodätische Parallelkurven und zugleich Krümmungslinien — ; sie
werden von den (untereinander kongruenten) in den Ebenen ge-
legenen geodätischen Krümmungslinien senkrecht geschnitten.
II.
Es sind jetzt die Mainardi-Godazzi sehen Gleichungen für
den Fall zu lösen, daß die Kurven
u = const, d. i. du — 0
zugleich die Differentialgleichung
Ldu2 + 2Mdudv + N dv2 = 0
der Asymptotenlinien erfüllen, also ist zu verlangen
N = 0 .
Man hat dann die Gleichungen
L2 — M1 = —M,
g
-M2 = — — M + ggtL
s
1 Wegen der geforderten Doppeleigenschaft müssen die Hauptnormalen
der Kurven eine Tangentenschar bilden, und das ist nur bei ebenen Kurven
der Fall.
Heinrich Liebmann:
auch sofort gefunden werden kann! Die geodätischen Kurven
y = const müssen, wie schon zu Anfang gesagt wurde, ebenfalls
Krümmungslinien sein; geodätische Linien aber, die zugleich
Krümmungslinien sind, sind notwendig ebene Kurven1, und die
Kurvenebene ist für alle ihre Schnittpunkte mit der Fläche zu-
gleich Normalebene.
Demnach besteht eine Fläche von der vorgeschriebenen Eigen-
schaft notwendig aus einer Schar von Orthogonaltrajektorien einer
Ebenenschar — diese Orthogonaltrajektorien sind auf der Fläche
geodätische Parallelkurven und zugleich Krümmungslinien — ; sie
werden von den (untereinander kongruenten) in den Ebenen ge-
legenen geodätischen Krümmungslinien senkrecht geschnitten.
II.
Es sind jetzt die Mainardi-Godazzi sehen Gleichungen für
den Fall zu lösen, daß die Kurven
u = const, d. i. du — 0
zugleich die Differentialgleichung
Ldu2 + 2Mdudv + N dv2 = 0
der Asymptotenlinien erfüllen, also ist zu verlangen
N = 0 .
Man hat dann die Gleichungen
L2 — M1 = —M,
g
-M2 = — — M + ggtL
s
1 Wegen der geforderten Doppeleigenschaft müssen die Hauptnormalen
der Kurven eine Tangentenschar bilden, und das ist nur bei ebenen Kurven
der Fall.