Vorgeschriebene geodätische Parallelkurven.
(A. 9) 7
zu integrieren. Elimination von L und M würde für g eine sehr
unübersichtliche partielle Differentialgleichung vierter Ordnung
geben. Wir bevorzugen daher die folgende Reduktion: Wir machen
den Ansatz
(4)
M = gLw,
wobei w, nebenbei bemerkt, eine einfache geometrische Bedeutung
hat; es ist nämlich die halbe Tangente des Winkels (99) der Asym-
ptotenkurven. Setzt man (4) in die erste und dritte Gleichung
ein, und berechnet dann Lr und L2, so kommt
h + ^ + A = 0
L w w
Sodann ist noch
g2 L2w2 = M2 = gltg
oder
logL = f(logg11-logg-21ogw)
zu berücksichtigen, so daß schließlich die Mainardi-Codazzisehen
Gleichungen ersetzt sind durch die beiden partiellen Differential-
gleichungen
gin gi , 2gi L 1 V 2 ^2
gn g g \ w ) gw
gll2 _ g2 2ffl _ q
gll g ™
Von diesen Gleichungen soll jetzt durch geeigneten Ansatz
eine partikuläre Lösung gefunden werden.
Wir wollen verlangen, daß
g = g(t) =g(u + Kv)
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zu integrieren. Elimination von L und M würde für g eine sehr
unübersichtliche partielle Differentialgleichung vierter Ordnung
geben. Wir bevorzugen daher die folgende Reduktion: Wir machen
den Ansatz
(4)
M = gLw,
wobei w, nebenbei bemerkt, eine einfache geometrische Bedeutung
hat; es ist nämlich die halbe Tangente des Winkels (99) der Asym-
ptotenkurven. Setzt man (4) in die erste und dritte Gleichung
ein, und berechnet dann Lr und L2, so kommt
h + ^ + A = 0
L w w
Sodann ist noch
g2 L2w2 = M2 = gltg
oder
logL = f(logg11-logg-21ogw)
zu berücksichtigen, so daß schließlich die Mainardi-Codazzisehen
Gleichungen ersetzt sind durch die beiden partiellen Differential-
gleichungen
gin gi , 2gi L 1 V 2 ^2
gn g g \ w ) gw
gll2 _ g2 2ffl _ q
gll g ™
Von diesen Gleichungen soll jetzt durch geeigneten Ansatz
eine partikuläre Lösung gefunden werden.
Wir wollen verlangen, daß
g = g(t) =g(u + Kv)