Vorgeschriebene geodätische Parallelkurven.
(A. 9). 9
ist jetzt die Aufgabe zurückgeführt, Flächen mit dem Bogenelement
ds2 = d u2 + g2 (u + xv) dv2
zu bestimmen, auf denen die geodätischen Parallelkuroen du = 0 zu-
gleich Asymptotenlinien sind.
Die Riccati sehe Gleichung läßt sich hier integrieren, denn
man kann leicht bestätigen, daß
%
g
dann nach bekannten Metho-
2 h2
(10)
c —
eine partikuläre Lösung ist, erhält
den auch die allgemeine Lösung
v (?)=
_2 &
g_e_
r _2
- / g e™
Die Bestimmung von g als Funktion von t macht nun weiter
keine Schwierigkeiten, wenn man die partikuläre Lösung (9) be-
nützt; es ist noch die Gleichung (8) zu integrieren. Einmalige
Integration ergibt
g=c1g3e
mit der Integrationskonstante q und nochmalige Integration
(g'}2 = c2-cxK2e ** (g2 + x2) .
Auch L und M lassen sich dann aus den Mainardi-Godazzi-
schen Formeln (3) berechnen, und zwar findet man für c1 = l:
.W=(ggT = g2e~2- ,
1 [g'xM
Li — -“ I-J“2 I — I
gg \ g / \*
(A. 9). 9
ist jetzt die Aufgabe zurückgeführt, Flächen mit dem Bogenelement
ds2 = d u2 + g2 (u + xv) dv2
zu bestimmen, auf denen die geodätischen Parallelkuroen du = 0 zu-
gleich Asymptotenlinien sind.
Die Riccati sehe Gleichung läßt sich hier integrieren, denn
man kann leicht bestätigen, daß
%
g
dann nach bekannten Metho-
2 h2
(10)
c —
eine partikuläre Lösung ist, erhält
den auch die allgemeine Lösung
v (?)=
_2 &
g_e_
r _2
- / g e™
Die Bestimmung von g als Funktion von t macht nun weiter
keine Schwierigkeiten, wenn man die partikuläre Lösung (9) be-
nützt; es ist noch die Gleichung (8) zu integrieren. Einmalige
Integration ergibt
g=c1g3e
mit der Integrationskonstante q und nochmalige Integration
(g'}2 = c2-cxK2e ** (g2 + x2) .
Auch L und M lassen sich dann aus den Mainardi-Godazzi-
schen Formeln (3) berechnen, und zwar findet man für c1 = l:
.W=(ggT = g2e~2- ,
1 [g'xM
Li — -“ I-J“2 I — I
gg \ g / \*