Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Summationsmethoden und Entwicklungen
nach Polynomen.

§1-
Die meisten Summationsmethoden für divergente Reihen dienen
zugleich dem Zweck, für Potenzreihen die analytische Fortsetzung
außerhalb des Konvergenzkreises zu liefern. So wird z. B. durch die
BoRELsche exponentielle Summation die Funktion innerhalb des
„Summationspolygons“ dargestellt. Besonders begehrt sind solche Dar-
stellungen, die im ganzen Mittag-LEFFLERSchen Stern gelten. Wenn
außerdem die dabei auftretenden Näherungsfunktionen Polynome sind,
so pflegt man das als einen weiteren Vorteil anzusehen und spricht
dann von einer „Entwicklung nach Polynomen“. Im folgenden sollen
zu den bekannten Darstellungen dieser Art einige neue hinzugefügt
werden.
Es ist ein in der Literatur schon mehrfach benutzter Gedanke,
daß man nur für die Funktion 1 - eine Entwicklung zu kennen braucht,
um dann mit Hilfe der CAUGHYSchen Integralformel eine für jede
Funktion gültige Entwicklung zu erhalten. In der Tat gilt der
Satz 1. Sei cpQ(x), cpx(x), (p2[x), ••• eine Folge von Funk-
tionen der positiven Veränderlichen x derart, daß die Reihe
CO
2 Vv (%) Z)
v=Q
als Funktion von 0 eine ganze Funktion ist. Sei ferner
lim 0 (x, 0) — ----
gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Bereich der £-Ebene,
der keinen Punkt der H a 1 b g e r a d e n £ 1 enthält. We n n
d a n n JV
2 av0v = f(0}
t> = 0
eine beliebige Potenz reihe ist, so stellt der Grenzwert
cc
lim 2 av^pv{x}0v
33=00 V=0