Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Summationsmethoden.

5

00
lim 2 cpv (&) 2V = 0
£= oo r=X+l
ist. Das ist gewiß möglich; denn da die Reihe Xcpv(x)2v auch für
2 = x absolut konvergieren muß, kann man beispielsweise X so wählen,
daß
i>=Zj-l
ist. Dieses X leistet augenscheinlich das Verlangte; doch wird man
meist schon mit einem kleineren Wert von X auskommen. Nun ist
lim 2 WvWzV== lim 2 2
£=00 V -0 £=00 V = 0 £=00 V=JT-]-l
und zwar gleichmäßig für jeden abgeschlossenen Bereich, der keinen
Punkt der Halbgeraden 1 enthält. Die Voraussetzungen von
Satz 1 bleiben daher bestehen, wenn man cpv(x) für ri> X durch Null
ersetzt, und daher ist auch
x
t\z) = lim 2 av cpv (x) 2V
x~ oo r = 0
im ganzen Stern. Somit ist bewiesen
Satz 2. Ist eine Folge von Funktionen <pv(x) der in
Satz 1 verlangten Art gegeben, so kann man jedem x eine
positive ganze Zahl X derart zuordnen, daß in jedem
endlichen Bereich 121 < li gleichmäßig
co
lim 2 <PV (^)— 0
£ = oo v = JT+l
ist. Wenn dann
00
2 av 2V = f (2)
v= 0
eine beliebige Potenzreihe ist, so gilt für ihre analytische
Fortsetzung im ganzen Mittag - Leffler s ehe n Stern die
Entwicklung nach Polynomen:
x
= lim 2 av cpv (F) 2V.
£= CO )>=0