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https://doi.org/10.11588/diglit.43562#0019
Neue Summationsmethoden.
11
co
0
C — uo
^Jc
0
wo o wieder clie gleiche Bedeutung hat wie beim Beweis von Satz 3.
Daß aber dieses letzte Integral, wenn £ nach Null abnimmt, ebenfalls
nach Null konvergiert, erkennt man, wenn man es zerlegt in
Q co
/+/■
o o
wobei q jedenfalls so groß gewählt sein soll, daß
log q • cos cp
cp sin cp,
also für hinreichend kleine £, etwa für £<£0, auch
(1)
log q . cos [cp (1 + £)] > cp sin | cp (1 +£)]
ist. Dann ist nämlich
e -\-ue 1
cos [g?(!+£)] + u cos cp
und hier ist der Exponent von e für negativ; denn er ver¬
schwindet für £ = 0, und für OVfVfo ist seine Ableitung nach £
wegen (1) negativ. Daher ist für w f>o
und folglich ist
1 <2,
oo oo
Q Q
uo
also beliebig klein, wenn man nur q unabhängig von £ genügend groß
gewählt hat.
Durch nachträgliche Verkleinerung von £ wird dann
p
auch das Integral | beliebig klein, und damit ist die erste Aussage
ö
von Satz 4 bewiesen.
Zum Beweis der zweiten Aussage beachten wir die für
gültige Abschätzung
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co
0
C — uo
^Jc
0
wo o wieder clie gleiche Bedeutung hat wie beim Beweis von Satz 3.
Daß aber dieses letzte Integral, wenn £ nach Null abnimmt, ebenfalls
nach Null konvergiert, erkennt man, wenn man es zerlegt in
Q co
/+/■
o o
wobei q jedenfalls so groß gewählt sein soll, daß
log q • cos cp
cp sin cp,
also für hinreichend kleine £, etwa für £<£0, auch
(1)
log q . cos [cp (1 + £)] > cp sin | cp (1 +£)]
ist. Dann ist nämlich
e -\-ue 1
cos [g?(!+£)] + u cos cp
und hier ist der Exponent von e für negativ; denn er ver¬
schwindet für £ = 0, und für OVfVfo ist seine Ableitung nach £
wegen (1) negativ. Daher ist für w f>o
und folglich ist
1 <2,
oo oo
Q Q
uo
also beliebig klein, wenn man nur q unabhängig von £ genügend groß
gewählt hat.
Durch nachträgliche Verkleinerung von £ wird dann
p
auch das Integral | beliebig klein, und damit ist die erste Aussage
ö
von Satz 4 bewiesen.
Zum Beweis der zweiten Aussage beachten wir die für
gültige Abschätzung