Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Summationsmethoden.

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§ 4.
Die in den Sätzen 3 und 4 angegebenen Summationsmethoden
fallen auch unter die allgemeine Art, die ich in meiner Arbeit „Bei-
trag zur Theorie der divergenten Reihen“ auseinandergesetzt habe1),
indem die betreffenden Folgen cpv (x) summatorische Folgen in dem
a. a. O. angegebenen Sinne sind, und zwar fallende summatorische
Folgen. Um das einzusehen, muß nur gezeigt werden, daß
(A) lim (pv (x) = 1,
£C=oo
(R) 1 ^0 k) ^2 (®) • • • ’ 0
ist, letzteres, sobald x genügend groß ist.
Wenn nun <pv (x) die in Satz 3 oder Satz 4 angegebene Bedeutung
hat, so ist zunächst die Gültigkeit der Gleichung (J) evident, und
außerdem ist cpv {x) 0. Ferner ist im Fall von Satz 3
00
(1) (pv (x) = ^ Jt e - ö dt,
o
woraus durch partielle Integration folgt:
00
9% 0) = +1 e _ 1 ~ '/10g 111 + £ + £ log 0 dt
0
00
= (1 + u n+1 (?) + JtV +1 e ~1 ~ 10g * log t dt.
o

Addiert man hierzu die mit £ multiplizierte Gleichung (1), so er-
gibt sich:


1 . u
weil ja t log £die Klammer unter dem Integralzeichen also
positiv ist.

Daher ist cpv (x) )> cpvJrl(x}, und um (R) sicherzustellen, muß also
nur noch gezeigt werden, daß <p0 (x) 1 ist für hinreichend große x.
Nun ist aber

’) Mathematische Zeitschrift, Bel. 6 (1920).