Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen,

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“ + a»2£»_2f “+•••)>
wo mit die nten Einheitswurzeln bezeichnet sind. Setzt man das
in (7) ein, so findet man durch Auflösung nach leicht die Ent-
wicklung :
oder also, wenn auf die Unterscheidung der n Zweige verzichtet
wird:
(8) Q+^Ä1 C ~n±ßh2 C_^.+ • • •),
wobei /z0 = 0 zu setzen ist.

§ 3.
Die Abelschen Integrale.
I. Integrale erster Gattung.
Die Funktionen tj(Ä) sind auf der RiEMANNschen £-Fläche im
Endlichen nicht überall regulär, sondern sie können Pole haben in
den Verzweigungspunkten der Fläche. Wohl aber bleiben ihre
Integrale endlich, und allgemeiner bleibt ein Integral der Form


im Endlichen endlich, wenn u irgendeine im Endlichen reguläre
Funktion auf der £-Fläche ist. Speziell sind


h — 0, 1,..., u h 1
= 1,2,..., n — 1

die /tj-l-. . . + j«n_1= p Integrale erster Gattung, weil sie nach (8) auch
im Unendlichen endlich bleiben.1) In (9) kann man daher den Punkt q
als untere Integrationsgrenze wählen, und erhält dann, wenn man nach
fallenden Potenzen von £ entwickelt, nach (8):

(10)

Nun sind aber die p Zahlen

+ (/z — Z — 1) n

x) Hensel-Landsberg, Seite 569.

7 Ä 0, 1, . . ., /-t 1
Ji =1,2,..., n — 1