Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.

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in q dann und nur dann endlich bleibt, wenn v-\-p<^2p ist. In
diesem Fall wird also das Integral (15), auf einem geschlossenen Weg
um den Punkt q herumgeführt, verschwinden. Daraus ergeben sich
in bekannter Weise gewisse Periodenrelationen, die wir jetzt herleiten
wollen.
Über die Bezeichnung der .Perioden eines ÄBELschen Integrals
setzen wir folgendes fest: Nachdem die Fläche1) in üblicher Weise
durch p Paare von Rückkehrschnitten b%, deren aber keiner durch
den Punkt q gehen soll, zerschnitten ist, ohne zu zerfallen, unter-
scheiden wir die Ufer der Rückkehrschnitte als das positive und
negative, und zwar derart, daß beim Durchlaufen des durch das
Rückkehrschnittpaar erzeugten Randes, wenn die Fläche links
bleibt, die Ufer in der Reihenfolge


durchlaufen werden. Für ein beliebiges ÄBELsches Integral U be-
zeichnen wir dann die Periode


dü=- dU = U(a^-U(a~)

als „Periode am Rückkehrschnitt a^‘, und die Periode

j'dU=- fdU = U(b-)-U(b-)


als „Periode am Rückkehrschnitt bj“.
Nach dieser Festsetzung bezeichnen wir für die obigen Integrale
Vv die Periode am Rückkehrschnitt mit die Periode am
Rückkehrschnitt b^ mit Bv^- Es ist dann nach bekannter Schluß-
weise das Integral (15), erstreckt über die p durch die Rückkehr-
schnittpaare erzeugten Ränder, gleich dem Integral, erstreckt über
einen geschlossenen Weg um den Punkt q, also Null, wenn v-{-p^_2p
ist. Das ergibt:
9 Ob man dabei zunächst die ursprüngliche RiEMANNsche Fläche oder
gleich die £-Fläche irn Auge hat, ist gleichgültig. Wegen des umkehrbar
eindeutigen Entsprechens der Punkte entspricht ja jedem Rückkehrschnitt der
einen Fläche auf der anderen Fläche ein ganz bestimmter Rückkehrschnitt,
den man, analog wie bei den Punkten, mit dem gleichen Buchstaben bezeich-
nen darf.