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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0003
Über transzendente Funktionen auf
Riemannschen Flächen.
§ 1-
Einleitung.
Unter einer ganzen (rationalen oder transzendenten) Funktion g(z)
versteht man bekanntlich eine solche, die in der einfach überdeckten
z- Ebene eindeutig und im Endlichen überall regulär ist. Da man
aber die einzige singuläre Stelle statt im Unendlichen ebensogut an
einer beliebigen endlichen Stelle a annehmen kann (wozu ja nur die
Substitution z= 1 - - nötig ist), so ist die Theorie der ganzen Funk-
tionen identisch mit der Theorie derjenigen Funktionen, die in der
komplexen Zahlenebene nur eine singuläre Stelle haben.
Legt man statt der einfach überdeckten z-Ebene eine endlich-
vielblättrige zusammenhängende RiEMANNSche Fläche vom Geschlecht p
zugrunde, so werden als Analogon zu den ganzen Funktionen die-
jenigen anzusprechen sein, die nur an einer Stelle der Riemann-
schen Fläche singulär werden; an jeder anderen Stelle sind sie regulär,
d. h. nach positiven ganzen Potenzen einer an dieser Stelle verschwin-
denden Ortsuniformisierenden entwickelbar. Die Grundlagen für eine
Theorie dieser Funktionen sollen im folgenden entwickelt werden.
Ist die singuläre Stelle ein Pol, so ist die Funktion natürlich
eine Funktion des zu der RiEMANNschen Fläche gehörigen algebraischen
Funktionenkörpers. Jedoch will ich hier gerade auch diejenigen Funk-
tionen betrachten, für welche die singuläre Stelle eine wesentliche
ist, also das Analogon zu den ganzen transzendenten Funktionen.
Ich werde die allgemeine Form dieser Funktionen angeben, sodann die
Funktionen ohne Nullstellen aufsuchen, und schließlich für Funktionen
mit vorgeschriebenen endlich oder unendlich vielen Nullstellen eine
der AA EiERSTRASSschen Produktentwicklung für ganze Funktionen
ähnliche Darstellung gewinnen. Dabei werden einige bemerkenswerte
Resultate zutage treten. Es wird sich zeigen, daß bei transzendenten
Funktionen die Nullstellen willkürlich vorgeschrieben werden dürfen,
während sie bei algebraischen bekanntlich an p Bedingungsgleichungen
gebunden sind (das AßELsche Theorem). AVenn aber von der tran-
szendenten Funktion verlangt wird, daß sie in der Umgebung der
Riemannschen Flächen.
§ 1-
Einleitung.
Unter einer ganzen (rationalen oder transzendenten) Funktion g(z)
versteht man bekanntlich eine solche, die in der einfach überdeckten
z- Ebene eindeutig und im Endlichen überall regulär ist. Da man
aber die einzige singuläre Stelle statt im Unendlichen ebensogut an
einer beliebigen endlichen Stelle a annehmen kann (wozu ja nur die
Substitution z= 1 - - nötig ist), so ist die Theorie der ganzen Funk-
tionen identisch mit der Theorie derjenigen Funktionen, die in der
komplexen Zahlenebene nur eine singuläre Stelle haben.
Legt man statt der einfach überdeckten z-Ebene eine endlich-
vielblättrige zusammenhängende RiEMANNSche Fläche vom Geschlecht p
zugrunde, so werden als Analogon zu den ganzen Funktionen die-
jenigen anzusprechen sein, die nur an einer Stelle der Riemann-
schen Fläche singulär werden; an jeder anderen Stelle sind sie regulär,
d. h. nach positiven ganzen Potenzen einer an dieser Stelle verschwin-
denden Ortsuniformisierenden entwickelbar. Die Grundlagen für eine
Theorie dieser Funktionen sollen im folgenden entwickelt werden.
Ist die singuläre Stelle ein Pol, so ist die Funktion natürlich
eine Funktion des zu der RiEMANNschen Fläche gehörigen algebraischen
Funktionenkörpers. Jedoch will ich hier gerade auch diejenigen Funk-
tionen betrachten, für welche die singuläre Stelle eine wesentliche
ist, also das Analogon zu den ganzen transzendenten Funktionen.
Ich werde die allgemeine Form dieser Funktionen angeben, sodann die
Funktionen ohne Nullstellen aufsuchen, und schließlich für Funktionen
mit vorgeschriebenen endlich oder unendlich vielen Nullstellen eine
der AA EiERSTRASSschen Produktentwicklung für ganze Funktionen
ähnliche Darstellung gewinnen. Dabei werden einige bemerkenswerte
Resultate zutage treten. Es wird sich zeigen, daß bei transzendenten
Funktionen die Nullstellen willkürlich vorgeschrieben werden dürfen,
während sie bei algebraischen bekanntlich an p Bedingungsgleichungen
gebunden sind (das AßELsche Theorem). AVenn aber von der tran-
szendenten Funktion verlangt wird, daß sie in der Umgebung der