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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0004
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0. Perron:
singulären Stelle ein verhältnismäßig geringes Wachstum aufweist
(Analogon zu den ganzen transzendenten Funktionen der Höhe Null),
so müssen die Nullstellen außer einer Konvergenzbedingung (wie sie
analog bei den ganzen transzendenten Funktionen der Höhe Null auf-
tritt) auch wieder den p Bedingungsgleichungen des ÄBELschen
Theorems genügen. Wird ein etwas größeres Wachstum zugelassen,
so sind nur mehr p— 1 Bedingungsgleichungen zu erfüllen, bei noch
größerem Wachstum nur p — 2 usw.
An Literatur über den Gegenstand sind zu nennen eine Arbeit
von P. Appell und eine Arbeit von P. Günther, die beide eben-
falls ein Analogon zur WElERSTRASSschen Produktdarstellung ent-
wickeln, im übrigen aber keine Resultate der gegenwärtigen Arbeit
vorwegnehmen.1) Nach Günthers Angaben hat auch Weierstrass
selbst in seinen Vorlesungen wiederholt auf die Existenz einer solchen
Produktentwicklung hingewiesen.
§ 2.
Einführung einer passenden unabhängig Veränderlichen.
In diesem und dem folgenden Paragraphen wird in der Haupt-
sache an bekannte Resultate erinnert,2) und werden auf Grund der-
selben einige für später zweckmäßige Festsetzungen getroffen. Wir
bezeichnen die Punkte der RiEMANNschen Fläche mit kleinen deutschen
Buchstaben. Speziell sei q der feste Punkt, an dem die zu unter-
suchenden Funktionen singulär werden dürfen, und sei g der variable
Punkt, von dem wir die Funktionen als abhängig -betrachten; doch
werden wir das Argument g meistens unterdrücken und also z. B. statt
der Funktion £(g) einfach £ schreiben.
Nach dem WElERSTRASSschen Lückensatz3) gibt es genau p ver-
schiedene ganze positive Zahlen
4?1> £?2’ • • Qp
derart, daß eine Funktion, die im Punkt q einen Pol der Ordnung q
') P. Appell: Sur les fonctions uniformes cl’un point analytique (x, y);
second memoire. Acta Mathematica 1 (1882), S. 132—144. — P. Günther: Über
die eindeutigen Funktionen von zwei durch eine algebraische Gleichung ver-
bundenen Veränderlichen. Journal f. d. reine u. angew. Mathematik 109 (1892),
S. 199—212.
2) Man vergleiche dazu das Buch von Hensel und Landsberg: Theorie
der algebraischen Funktionen einer Variabein, Leipzig 1902, insbesondere die
32. und den § 1 der 33. Vorlesung, an die ich mich auch in der Bezeichnung
großenteils anschließe.
3) Hensel-Landsberg, Seite 492 und 569.
0. Perron:
singulären Stelle ein verhältnismäßig geringes Wachstum aufweist
(Analogon zu den ganzen transzendenten Funktionen der Höhe Null),
so müssen die Nullstellen außer einer Konvergenzbedingung (wie sie
analog bei den ganzen transzendenten Funktionen der Höhe Null auf-
tritt) auch wieder den p Bedingungsgleichungen des ÄBELschen
Theorems genügen. Wird ein etwas größeres Wachstum zugelassen,
so sind nur mehr p— 1 Bedingungsgleichungen zu erfüllen, bei noch
größerem Wachstum nur p — 2 usw.
An Literatur über den Gegenstand sind zu nennen eine Arbeit
von P. Appell und eine Arbeit von P. Günther, die beide eben-
falls ein Analogon zur WElERSTRASSschen Produktdarstellung ent-
wickeln, im übrigen aber keine Resultate der gegenwärtigen Arbeit
vorwegnehmen.1) Nach Günthers Angaben hat auch Weierstrass
selbst in seinen Vorlesungen wiederholt auf die Existenz einer solchen
Produktentwicklung hingewiesen.
§ 2.
Einführung einer passenden unabhängig Veränderlichen.
In diesem und dem folgenden Paragraphen wird in der Haupt-
sache an bekannte Resultate erinnert,2) und werden auf Grund der-
selben einige für später zweckmäßige Festsetzungen getroffen. Wir
bezeichnen die Punkte der RiEMANNschen Fläche mit kleinen deutschen
Buchstaben. Speziell sei q der feste Punkt, an dem die zu unter-
suchenden Funktionen singulär werden dürfen, und sei g der variable
Punkt, von dem wir die Funktionen als abhängig -betrachten; doch
werden wir das Argument g meistens unterdrücken und also z. B. statt
der Funktion £(g) einfach £ schreiben.
Nach dem WElERSTRASSschen Lückensatz3) gibt es genau p ver-
schiedene ganze positive Zahlen
4?1> £?2’ • • Qp
derart, daß eine Funktion, die im Punkt q einen Pol der Ordnung q
') P. Appell: Sur les fonctions uniformes cl’un point analytique (x, y);
second memoire. Acta Mathematica 1 (1882), S. 132—144. — P. Günther: Über
die eindeutigen Funktionen von zwei durch eine algebraische Gleichung ver-
bundenen Veränderlichen. Journal f. d. reine u. angew. Mathematik 109 (1892),
S. 199—212.
2) Man vergleiche dazu das Buch von Hensel und Landsberg: Theorie
der algebraischen Funktionen einer Variabein, Leipzig 1902, insbesondere die
32. und den § 1 der 33. Vorlesung, an die ich mich auch in der Bezeichnung
großenteils anschließe.
3) Hensel-Landsberg, Seite 492 und 569.