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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0005
Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.
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hat und sonst regulär ist, nicht existiert. Diese p fehlenden Ord-
nungszahlen sind im allgemeinen die Zahlen 1, 2, . . p. Nur wenn q
einer der endlichvielen sogenannten WEiERSTRASSpunkte ist, sind es
andere Zahlen; doch ist immer die Zahl 1 dabei (falls nicht p = 0
ist, in welchem Fall ja keine Ordnung fehlt).
Sei n eine von q%, • • •■> Qp verschiedene ganze positive Zahl,
und £ = £(3) eine Funktion, die in q einen Pol nter Ordnung hat und
sonst regulär ist. Die Funktion £ nimmt auf der RiEMANNschen
Fläche jeden Wert n mal an, und man kann die Fläche umkehrbar
eindeutig abbilden auf eine neue RiEMANNsche Fläche, die £-Fläche,
die n- blättrig über der £-Ebene ausgebreitet ist, und bei der im
Unendlichen alle n Blätter Zusammenhängen (Verzweigungspunkt
(n — l)ter Ordnung); ihr Geschlecht ist wieder p. Wegen dieser um-
kehrbar eindeutigen Abbildung dürfen die Punkte der RiEMANNschen
£-Fläche mit denselben deutschen Buchstaben bezeichnet werden wie
die entsprechenden Punkte der ursprünglichen Fläche; insbesondere
ist q der unendlich ferne Verzweigungspunkt der £-Fläche und § der
variable Punkt.
Ist das Geschlecht j? = 0, so fehlt keine Ordnungszahl, also kann
man für £ eine Funktion wählen, die in q einen Pol erster Ordnung
hat. Dann ist n=l, die £-Fläche also einblättrig, und folglich sind
die zu behandelnden Funktionen einfach die ganzen Funktionen der
Variabein £. Dieser Fall bedarf daher keiner weiteren Untersuchung,
und demgemäß soll jetzt p~^>0 vorausgesetzt werden. Dann ist, da
die Ordnungszahl 1 immer zu den fehlenden gehört, niemals n = 1,
die -C-Fläche also sicher mehr als einblättrig.
Nun betrachten wir, wenn h eine der Zahlen 1, 2, . . ., n—1
bedeutet, die Folge von Zahlen:
7i, ll -j- Ti, 7i -f- 2 Ti, ll -|- 3 Ti, . . .
Sei die kleinste darunter, die nicht zu den fehlenden Ord¬
nungszahlen gehört, und sei eine Funktion, die in q einen Pol
der Ordnung A-j-^Ti hat und sonst regulär ist. Dann gilt in der
Umgebung von q eine Entwicklung
(1) = £“»+...),
t (h)
w0 ist- Indem wir lieber die Funktion - statt £ betrach-
Oo
ten, erreichen wir, daß
(2) aÄ0 = 1
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hat und sonst regulär ist, nicht existiert. Diese p fehlenden Ord-
nungszahlen sind im allgemeinen die Zahlen 1, 2, . . p. Nur wenn q
einer der endlichvielen sogenannten WEiERSTRASSpunkte ist, sind es
andere Zahlen; doch ist immer die Zahl 1 dabei (falls nicht p = 0
ist, in welchem Fall ja keine Ordnung fehlt).
Sei n eine von q%, • • •■> Qp verschiedene ganze positive Zahl,
und £ = £(3) eine Funktion, die in q einen Pol nter Ordnung hat und
sonst regulär ist. Die Funktion £ nimmt auf der RiEMANNschen
Fläche jeden Wert n mal an, und man kann die Fläche umkehrbar
eindeutig abbilden auf eine neue RiEMANNsche Fläche, die £-Fläche,
die n- blättrig über der £-Ebene ausgebreitet ist, und bei der im
Unendlichen alle n Blätter Zusammenhängen (Verzweigungspunkt
(n — l)ter Ordnung); ihr Geschlecht ist wieder p. Wegen dieser um-
kehrbar eindeutigen Abbildung dürfen die Punkte der RiEMANNschen
£-Fläche mit denselben deutschen Buchstaben bezeichnet werden wie
die entsprechenden Punkte der ursprünglichen Fläche; insbesondere
ist q der unendlich ferne Verzweigungspunkt der £-Fläche und § der
variable Punkt.
Ist das Geschlecht j? = 0, so fehlt keine Ordnungszahl, also kann
man für £ eine Funktion wählen, die in q einen Pol erster Ordnung
hat. Dann ist n=l, die £-Fläche also einblättrig, und folglich sind
die zu behandelnden Funktionen einfach die ganzen Funktionen der
Variabein £. Dieser Fall bedarf daher keiner weiteren Untersuchung,
und demgemäß soll jetzt p~^>0 vorausgesetzt werden. Dann ist, da
die Ordnungszahl 1 immer zu den fehlenden gehört, niemals n = 1,
die -C-Fläche also sicher mehr als einblättrig.
Nun betrachten wir, wenn h eine der Zahlen 1, 2, . . ., n—1
bedeutet, die Folge von Zahlen:
7i, ll -j- Ti, 7i -f- 2 Ti, ll -|- 3 Ti, . . .
Sei die kleinste darunter, die nicht zu den fehlenden Ord¬
nungszahlen gehört, und sei eine Funktion, die in q einen Pol
der Ordnung A-j-^Ti hat und sonst regulär ist. Dann gilt in der
Umgebung von q eine Entwicklung
(1) = £“»+...),
t (h)
w0 ist- Indem wir lieber die Funktion - statt £ betrach-
Oo
ten, erreichen wir, daß
(2) aÄ0 = 1