Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.

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(^=1, 2, .... 2p),
erstreckt über zwei geschlossene Linien in positiver Richtung um
die Punkte c und q herum, so ist das Integral gleich dem Integral,
erstreckt über die p durch die Rückkehrschnittpaare erzeugten Ränder.
Also 1
fvtl d 2 f K.(«•■) - h,(«;)]d <p<”>
c q. 1 at
+ 2 / [F„(6p-^(6-)]<np«
2=16+
oder also:
(28) / Vfl d 2 K* (c) - A Vl'm> (01
c q 2=1
0 = 1, 2, . . ., 2p).
Wenn p^p, also F^ ein Integral erster Gattung, und wenn
zugleich m — 0, also 0^=0^ ein Elementarintegral dritter
Gattung, so ist die linke Seite von (28), weil in c und q die
Residuen 1 und — 1 hat, gleich
2jL [F„ (c) — F/( (q)].
Man erhält somit die bekannte Formel:
(29) (c) - Vu (q)] = 2 KjV’A<0) (c) - <01 W]
2 = i
(,it = 1,2,..., p).
§ 4.
Die nur in q singulären Funktionen (Q - Funktionen).
Nunmehr wenden wir uns unserer eigentlichen Aufgabe zu und
suchen diejenigen Funktionen, die auf der ganzen RiEMANNschen
Fläche, abgesehen vom Punkt q, eindeutig und regulär sind. Um
uns kurz ausdrücken zu können, möge diesen Funktionen der Beiname
Q-Funktion gegeben werden. Offenbar ist jede Funktion der Form
71 — l
(3°) 2<7,.(C)4‘w,
ä=0
wo die grÄ(£) ganze (rationale oder transzendente) Funktionen sind,
eine Q-Funktion.