Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.

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wo C2 von R, c, k, v unabhängig ist. Die gleiche Abschätzung (mit
nötigenfalls etwas größerem C^) gilt aber auch, wenn nachträglich die
in IV eingeführten kleinen Kreise um die Verzweigungspunkte der
'Q-Fläche wieder entfernt werden, weil ja 77^ an den Verzweigungs-
punkten integrierbar bleibt. Setzt man lc-\-vn = m, so folgt aus der
gewonnenen Abschätzung sofort:
,^m), C.R\R\™
(34) V < W ■ (®-0, 1, 2,
wo also G2 von R, c, m unabhängig ist, und wo |/|>2R voraus-
gesetzt ist.
Nach diesen Vorbereitungen wollen wir versuchen, eine Funktion
mit den beliebig vorgegebenen unendlich vielen Nullstellen c1? C2, C3, ...
zu bilden, wobei jede Nullstelle wieder so oft hingeschrieben sein soll,
wie ihre Ordnung angibt. Da ein Häufungspunkt von Nullstellen eine
wesentlich singuläre Stelle ist, so können die cx nur den einen
Häufungspunkt q haben; setzt man also £ (cx) = so ist
lim l/xi = QC-
x —> OO
AVir dürfen außerdem annehmen, daß keine Nullstelle auf einem der
Rückkehrschnitte a^, bj. liegt, indem wir diesen nötigenfalls etwas
deformieren.
Jetzt ist es nicht mehr schwer, den folgenden Satz zu beweisen,
der das genaue Analogon zu der WEiERSTRASSschen Darstellung der
ganzen transzendenten Funktionen mit gegebenen Nullstellen enthält:
Satz 4. Sind Cp C2> C3, ... abzählbar viele von q ver-
schiedene Punkte der RiEMANNschen Fläche, die nicht
alle voneinander verschieden zu sein brauchen, und ist

= + ° für 1, 2, 3, . . .,
lim | | = QO,
X —> 00
so bestimme man eine Folge ganzer nicht negativer

Zahlen mv m2, ■
. . derart,
daß die Reihe
00
1
m
C ! —
_ i n
2
X = 1 1
1

für jeden Wert von C konvergiert. Alsdann stellt der
Ausdruck

00
u = n e c*
x = l


2*