Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf ßiEMANNschen Flächen.

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An beiden Ufern eines der Rückkehrschnitte b% unterscheiden
sich die Werte von e nur um einen konstanten Faktor; also
unterscheiden sich auch die Werte des Produktes nur um einen kon-
stanten Faktor. Diese konstanten Faktoren mögen an den Rückkehr-
schnitten
. ., ci"p) b-y, . . by
der Reihe nach die folgenden sein:
2o1^i 2o Jti 2g 2oz ai
e , . . ., e } & ,
wobei die gv im allgemeinen natürlich wieder keine ganzen Zahlen
sein werden. Die gleichen konstanten Faktoren nimmt aber offenbar
auch die Funktion
2 p
2 2°VT V
auf, wo die Tv wieder
Gattung sind. Folglich
co
K — 1
gewiß eine Q-Funktion, die gerade die verlangten Nullstellen hat.
Da aber nach § 3, II die Integrale Tv sich linear aus den 2 p Inte-
gralen Vv V2, . . V2p zusammensetzen, ergibt sich sogleich auch
die in Satz 4 angegebene Darstellung, die für spätere Zwecke vorteil-
hafter ist.
Bemerkung 1. Will man eine Q-Funktion bilden, die außer
den Nullstellen cx, die in Satz 4 auftreten, noch gewisse Nullstellen
bx hat, für die £ (bx) = 0 ist, so können letztere natürlich nur in
endlicher Zahl auftreten, und es ist nichts weiter nötig, als die Q-
Funktion von Satz 4 mit einer Q-Funktion zu multiplizieren, die nur
die endlich vielen Nullstellen bz hat und also nach Satz 3 gebildet
werden kann. Übrigens kann man den Fall, daß für einige Null-
stellen bx die Gleichung C(bx) = O gilt, jederzeit auch dadurch ver-
meiden, daß man £ — a an Stelle von £ einführt, wo a eine passende
Konstante ist.
Bemerkung 2. Für Q-Funktionen mit endlich vielen Null-
stellen ist außer der in Satz 3 gegebenen Darstellung, wenn £ (c^) 4 0
ist, natürlich auch die in Satz 4 gegebene Darstellung brauchbar; das
Produkt hat dann nur endlich viele Faktoren, und die ganze Kon-
vergenzuntersuchung erübrigt sich. Für später ist es meist bequemer,


g ,
die in § 3, II eingeführten Integrale zweiter
ist ,
“ 2 2ovTv