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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0026
26
0. Perron:
lim sup
3-*q
log log |u(g)|
log |#(g)
Ist JV endlich; so ist Formel (43) gleichbedeutend mit den fol-
genden beiden Ungleichungen, in denen e eine beliebig kleine positive
Zahl bedeutet:
|t|
(44 a) |u|<e für alle 3 in einer gewissen Umgebung von q,
N
-8
|£| 71
(44b) [uji>e für unendl. viele 3 in jeder Umgebung von q.
Bezeichnet man mit ur, . . ., un die n Zweige der Funktion u
auf der Fläche, so ist das Produkt
^(C) = ^i^2 . . . un
eine ganze Funktion von £, und wegen (44 a) ist
—F s
I M M
n | |
(45) <7(0| <e für alle hinreichend großen |£|,
während aus (44 b) nichts Analoges geschlossen werden kann.
Sind Cp c2, C3, ... die Nullstellen von u, jede so oft hinge-
schrieben, wie ihre Ordnung angibt, und setzt man C(cx)=yx, so
sind /j, 72, 7 3’ - • • die Nullstellen von g (£), und zwar ebenfalls jede
so oft, wie ihre Ordnung angibt. Der Einfachheit halber wollen wir
von jetzt an stets voraussetzen, daß alle yH von Null verschieden
sind, was nach dem Schlußsatz der Bemerkung 1 Seite 21 keine
Einschränkung bedeutet. Aus (45) folgt dann bekanntlich, daß die
Reihe
00 -1
2 -4-
| |n+£
\7yA
für jedes positive £ konvergiert.1) Also gilt
Satz 5. Sind cx, c2, C3, ... die Nullstellen einer Q-
Funktion von der endlichen Ordnung N, jede so oft hin-
geschrieben wie ihre Ordnung angibt, und setzt man
C (cx) = 7% (4 0), so ist die Reihe
00 1
für jedes positive £ konvergent.
2
x) Man vergleiche z. B. das Lehrbuch von Vivanti-Gutzmer : Theorie der*
eindeutigen analytischen Funktionen, Leipzig 1906, Seite 239f.
0. Perron:
lim sup
3-*q
log log |u(g)|
log |#(g)
Ist JV endlich; so ist Formel (43) gleichbedeutend mit den fol-
genden beiden Ungleichungen, in denen e eine beliebig kleine positive
Zahl bedeutet:
|t|
(44 a) |u|<e für alle 3 in einer gewissen Umgebung von q,
N
-8
|£| 71
(44b) [uji>e für unendl. viele 3 in jeder Umgebung von q.
Bezeichnet man mit ur, . . ., un die n Zweige der Funktion u
auf der Fläche, so ist das Produkt
^(C) = ^i^2 . . . un
eine ganze Funktion von £, und wegen (44 a) ist
—F s
I M M
n | |
(45) <7(0| <e für alle hinreichend großen |£|,
während aus (44 b) nichts Analoges geschlossen werden kann.
Sind Cp c2, C3, ... die Nullstellen von u, jede so oft hinge-
schrieben, wie ihre Ordnung angibt, und setzt man C(cx)=yx, so
sind /j, 72, 7 3’ - • • die Nullstellen von g (£), und zwar ebenfalls jede
so oft, wie ihre Ordnung angibt. Der Einfachheit halber wollen wir
von jetzt an stets voraussetzen, daß alle yH von Null verschieden
sind, was nach dem Schlußsatz der Bemerkung 1 Seite 21 keine
Einschränkung bedeutet. Aus (45) folgt dann bekanntlich, daß die
Reihe
00 -1
2 -4-
| |n+£
\7yA
für jedes positive £ konvergiert.1) Also gilt
Satz 5. Sind cx, c2, C3, ... die Nullstellen einer Q-
Funktion von der endlichen Ordnung N, jede so oft hin-
geschrieben wie ihre Ordnung angibt, und setzt man
C (cx) = 7% (4 0), so ist die Reihe
00 1
für jedes positive £ konvergent.
2
x) Man vergleiche z. B. das Lehrbuch von Vivanti-Gutzmer : Theorie der*
eindeutigen analytischen Funktionen, Leipzig 1906, Seite 239f.