Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über transzendente Funktionen auf RiEMANNschen Flächen.

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Sei jetzt m eine ganze nicht negative Zahl, und die Ordnung von
u sei kleiner als m+1. Nach Satz 5 ist dann die Reihe

(46)

konvergent. Man kann daher in Satz 4 speziell m y — m wählen und
erhält somit für u die Darstellung


o»
II, C v


• e

x= i

wo t eine nirgends verschwindende Q-Funktion ist. Die allgemeine
Form einer solchen ist aber in Satz 2 angegeben, und wenn man dort
die Integrale Tv durch die Integrale Vv linear ausdrückt, kommt
schließlich für u die Darstellung:

0(wl) XJ j_ v

(47)

•u = || e

• e

wo die tv' gewisse Konstanten sind, und wo v eine Q-Funktion ist.
Die Darstellung (47) gilt auch, wenn nur endlich viele Nullstellen
vorhanden sind, in welchem Fall das Produkt ein endliches ist, und
auch, wenn gar keine Nullstellen vorhanden sind, in welchem Fall
das Produkt durch 1 zu ersetzen ist.
Nun seien U und IQ wieder die in § 7 und § 8 eingeführten
Umgebungen von q. Sind Nullstellen cK vorhanden, so gibt es
jedenfalls nur endlich viele, die nicht in Ui liegen. Sind das etwa
die k ersten, so zerlegen wir in (47) das Produkt in folgender Weise:

Je



CXD



1

Auf das letzte Produkt können wir, wenn g in U liegt, wenn also | £;
hinreichend groß ist, die Formel (42) anwenden und erhalten so:



• e


wobei wegen (42) und wegen der Konvergenz der Reihe (46)


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