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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0004
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R. BALDUS:
Funktionen 92(7) und /(?) darstellen, die in einem abgeschlossenen
Intervalle stetige, an keiner Stelle des Intervalles gleichzeitig verschwin-
dende Ableitungen erster Ordnung haben, dazu für die Gleichungen
92 (zS) = 92 (Z), / (7) = % (zf) im Intervalle nur die Lösung t=t zulassen.
Für differentialgeometrische Untersuchungen wird der Begriff
Kurvenstück enger umgrenzt. Vielfach, so von F. Klein6), wird für
92(7) und ^(() außer der Eindeutigkeit die Existenz einer endlichen
Zahl von Derivierten gefordert. Oder man spricht, im engsten Sinne,
vom Element einer reellen analytischen Linie, 92(t) und /(7) werden
als reellwertige, analytische Funktionen vorausgesetzt, wobei jedem
Kurvenpunkte nur ein Parameterwert entsprechen soll.7)
Diese drei analytischen Fassungen lassen die Frage unerörtert, ob
es für ein in Parameterform gegebenes Kurvenstück (C), das einen für
diesen Parameter singulären Punkt Po enthält, nicht eine andere, den
betreffenden Definitionen genügende Parameterdarstellung gibt, in der
regulär ist. Und doch kann dies eintreten:
Sei z. B. (C), gegeben durch 921(r), %i(r), für t = 0 regulär,
99i/(0)2 + z'1(0)27^0, dann ist <p(t) — cp1(t3\ z(0 = Zi(^3) eine zu_
lässige Parameterdarstellung des gleichen Kurven Stückes, in der
92/(0)2-j-/'(0)2 = 0 ist.8) Als Kurvenpunkt wird Po nur dann als
singulär anzusprechen sein, wenn es keine einzige, den eingeführten
Funktionaleigenschaften genügende Parameterdarstellung für (C) gibt,
6) F. Klein, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie,
Autograph. Vorl. SS. 1901, Leipzig 1902, S. 255; ebenso bei L. Bianchi, Vor-
lesungen über Differentialgeometrie, 2. Aufl., Leipzig 1910. S. 1.
7) H. v. Mangoldt, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Kur-
ven und Flächen. Enz. d. math.Wiss. III Dl, 2 (wird zitiert als v. Mangoldt, Kurven)
Nr. 1 und 19, sowie v. Mangoldt, Linie Nr. 6, ferner R. v. Lilienthal, Vor-
lesungen über Differentialgeometrie, Bd. I, Leipzig 1908, S. 1 und 2, wo zwischen
„(außer)gewöhnlichen Punkten der Abbildung“ und „geometrisch (außergewöhn-
lichen Kurvenpunkten“ unterschieden wird.
8) Betrachtet man die Raumkurve x — <p (i), y = % (t), z=t, wie es C. Halphen,
Memoire ’sur les points singuliers des courbes algebriques planes, Par. Mem. pres.
par div. sav. (2) 26 (1879) Nr. 2, S. 19 ff. tut, deren Orthogonalprojektion in die
XY-Ebene (C) ist, dann hat diese Raumkurve die durch i = 0 bestimmte Er-
zeugende des projizierenden Zylinders zur stationären Tangente. Die ÜALPHENsche
Bemerkung, daß man einen singulären Punkt einer ebenen algebraischen Kurve
als Projektion regulärer Punkte von Raumkurven auffassen kann, läßt sich
demnach für reelle Parameterkurven dahin erweitern, daß man jeden regulären
Kurvenpunkt in der Ebene zu einem singulären Punkte machen kann, indem
man ihn als Projektion eines entsprechend gewählten Raumkurvenpunktes be-
trachtet.
R. BALDUS:
Funktionen 92(7) und /(?) darstellen, die in einem abgeschlossenen
Intervalle stetige, an keiner Stelle des Intervalles gleichzeitig verschwin-
dende Ableitungen erster Ordnung haben, dazu für die Gleichungen
92 (zS) = 92 (Z), / (7) = % (zf) im Intervalle nur die Lösung t=t zulassen.
Für differentialgeometrische Untersuchungen wird der Begriff
Kurvenstück enger umgrenzt. Vielfach, so von F. Klein6), wird für
92(7) und ^(() außer der Eindeutigkeit die Existenz einer endlichen
Zahl von Derivierten gefordert. Oder man spricht, im engsten Sinne,
vom Element einer reellen analytischen Linie, 92(t) und /(7) werden
als reellwertige, analytische Funktionen vorausgesetzt, wobei jedem
Kurvenpunkte nur ein Parameterwert entsprechen soll.7)
Diese drei analytischen Fassungen lassen die Frage unerörtert, ob
es für ein in Parameterform gegebenes Kurvenstück (C), das einen für
diesen Parameter singulären Punkt Po enthält, nicht eine andere, den
betreffenden Definitionen genügende Parameterdarstellung gibt, in der
regulär ist. Und doch kann dies eintreten:
Sei z. B. (C), gegeben durch 921(r), %i(r), für t = 0 regulär,
99i/(0)2 + z'1(0)27^0, dann ist <p(t) — cp1(t3\ z(0 = Zi(^3) eine zu_
lässige Parameterdarstellung des gleichen Kurven Stückes, in der
92/(0)2-j-/'(0)2 = 0 ist.8) Als Kurvenpunkt wird Po nur dann als
singulär anzusprechen sein, wenn es keine einzige, den eingeführten
Funktionaleigenschaften genügende Parameterdarstellung für (C) gibt,
6) F. Klein, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie,
Autograph. Vorl. SS. 1901, Leipzig 1902, S. 255; ebenso bei L. Bianchi, Vor-
lesungen über Differentialgeometrie, 2. Aufl., Leipzig 1910. S. 1.
7) H. v. Mangoldt, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Kur-
ven und Flächen. Enz. d. math.Wiss. III Dl, 2 (wird zitiert als v. Mangoldt, Kurven)
Nr. 1 und 19, sowie v. Mangoldt, Linie Nr. 6, ferner R. v. Lilienthal, Vor-
lesungen über Differentialgeometrie, Bd. I, Leipzig 1908, S. 1 und 2, wo zwischen
„(außer)gewöhnlichen Punkten der Abbildung“ und „geometrisch (außergewöhn-
lichen Kurvenpunkten“ unterschieden wird.
8) Betrachtet man die Raumkurve x — <p (i), y = % (t), z=t, wie es C. Halphen,
Memoire ’sur les points singuliers des courbes algebriques planes, Par. Mem. pres.
par div. sav. (2) 26 (1879) Nr. 2, S. 19 ff. tut, deren Orthogonalprojektion in die
XY-Ebene (C) ist, dann hat diese Raumkurve die durch i = 0 bestimmte Er-
zeugende des projizierenden Zylinders zur stationären Tangente. Die ÜALPHENsche
Bemerkung, daß man einen singulären Punkt einer ebenen algebraischen Kurve
als Projektion regulärer Punkte von Raumkurven auffassen kann, läßt sich
demnach für reelle Parameterkurven dahin erweitern, daß man jeden regulären
Kurvenpunkt in der Ebene zu einem singulären Punkte machen kann, indem
man ihn als Projektion eines entsprechend gewählten Raumkurvenpunktes be-
trachtet.