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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0005
Über clie singulären Punkte reeller Parameterkurven.
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in der Po regulär ist. Im anderen Falle liegt keine Kurvensingularität
vor, man könnte von einer „Parametersingularität“ sprechen.9)
Die hier folgenden Betrachtungen über die singulären Punkte
reeller Parameterkurven gelten im ersten Teile den ebenen Kurven.
Der Begriff des Kurvenstückes wird dabei differentialgeometrisch mög-
lichst weit gefaßt, im oben angegebenen Sinne von F. Klein. Da unter
anderem Merkmale für die Unterscheidung zwischen Kurven- und
Parametersingularitäten gesucht werden sollen, sind, wie erwähnt, die
Eigenschaften der für die Parameterdarstellungen zugelassenen Funk-
tionen genau anzugeben. Die Bestimmung der Krümmung in singu-
lären Punkten gestattet in vielen Fällen eine Singularität sofort als
Kurvensingularität zu erkennen, darüber hinaus findet man auf dem
Wege über eine für reguläre Punkte charakteristische ausgezeichnete
Parameterdarstellung einfache, stets brauchbare notwendige und hin-
reichende Kriterien für Parametersingularitäten. Diese Kriterien lassen
sich in endlich viele Gleichungen fassen, wenn man die Voraussetzun-
gen über die zugelassenen Funktionen etwas verengert. Führt man
die Bogenlänge als Parameter ein, dann scheint daraus, daß immer
j = 1 > 0 ist die überraschende Tatsache zu folgen, daß
9) Die „scheinbaren Singularitäten“ bei G. Scheffers, Anwendung der Differen-
tial- und Integralrechnung auf Geometrie, 2. Auflage, Bd. I, Leipzig 1910, S. 105
gehören nicht hierher, weil bei diesen die Parameterdarstellung nicht mehr die
Forderung erfüllt, daß jedem Kurvenpunkte nur ein Parameterwert entsprechen
soll. Vgl. über diesen Fall auch R. v. Lilienthal, a. a. 0. S. 61. Der bei
G. Scheffers S. 104 gebrachte Beweis dafür, daß bei komplexen Kurven die
Definition des singulären Punktes unabhängig von der Wahl des Parameters
ist, gilt nicht für reelle Kurven. Er setzt voraus, daß der alte Parameter eine
analytische Funktion des neuen ist, während im Reellen nach dem hier Ge-
sagten auch der Fall denkbar ist, daß zwar der neue Parameter eine analytische
Funktion des alten ist, aber nicht umgekehrt. Daher sind die entsprechenden
Betrachtungen bei R. v. Lilienthal, a. a. 0. S. 5 uud 6 zu ergänzen. Die von
gestaltlichen Verhältnissen ausgehende Unterscheidung zwischen außergewöhn-
lichen Punkten der Abbildung und geometrisch außergewöhnlichen Kurven-
punkten bei R. v. Lilienthal hat mit der hier eingeführten Unterscheidung zwischen
Kurvensingularitäten und Parametersingularitäten nichts zu tun. Nach Fertig-
stellung der hier vorliegenden Arbeit kam dem Verfasser das neu erschienene
Buch von W.Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie, Bd. I, Berlin 1921,
zu Gesicht. In diesem werden auf S. 4 — die Funktionen sind als reelle Potenz-
reihen vorausgesetzt — die hier eingeführten Parametersingularitäten durch die
Bemerkung berührt, daß die Singularität eines Kurvenpunktes durch die Para-
meterdarstellung oder durch ein besonderes Verhalten der Kurve verursacht
sein kann.
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in der Po regulär ist. Im anderen Falle liegt keine Kurvensingularität
vor, man könnte von einer „Parametersingularität“ sprechen.9)
Die hier folgenden Betrachtungen über die singulären Punkte
reeller Parameterkurven gelten im ersten Teile den ebenen Kurven.
Der Begriff des Kurvenstückes wird dabei differentialgeometrisch mög-
lichst weit gefaßt, im oben angegebenen Sinne von F. Klein. Da unter
anderem Merkmale für die Unterscheidung zwischen Kurven- und
Parametersingularitäten gesucht werden sollen, sind, wie erwähnt, die
Eigenschaften der für die Parameterdarstellungen zugelassenen Funk-
tionen genau anzugeben. Die Bestimmung der Krümmung in singu-
lären Punkten gestattet in vielen Fällen eine Singularität sofort als
Kurvensingularität zu erkennen, darüber hinaus findet man auf dem
Wege über eine für reguläre Punkte charakteristische ausgezeichnete
Parameterdarstellung einfache, stets brauchbare notwendige und hin-
reichende Kriterien für Parametersingularitäten. Diese Kriterien lassen
sich in endlich viele Gleichungen fassen, wenn man die Voraussetzun-
gen über die zugelassenen Funktionen etwas verengert. Führt man
die Bogenlänge als Parameter ein, dann scheint daraus, daß immer
j = 1 > 0 ist die überraschende Tatsache zu folgen, daß
9) Die „scheinbaren Singularitäten“ bei G. Scheffers, Anwendung der Differen-
tial- und Integralrechnung auf Geometrie, 2. Auflage, Bd. I, Leipzig 1910, S. 105
gehören nicht hierher, weil bei diesen die Parameterdarstellung nicht mehr die
Forderung erfüllt, daß jedem Kurvenpunkte nur ein Parameterwert entsprechen
soll. Vgl. über diesen Fall auch R. v. Lilienthal, a. a. 0. S. 61. Der bei
G. Scheffers S. 104 gebrachte Beweis dafür, daß bei komplexen Kurven die
Definition des singulären Punktes unabhängig von der Wahl des Parameters
ist, gilt nicht für reelle Kurven. Er setzt voraus, daß der alte Parameter eine
analytische Funktion des neuen ist, während im Reellen nach dem hier Ge-
sagten auch der Fall denkbar ist, daß zwar der neue Parameter eine analytische
Funktion des alten ist, aber nicht umgekehrt. Daher sind die entsprechenden
Betrachtungen bei R. v. Lilienthal, a. a. 0. S. 5 uud 6 zu ergänzen. Die von
gestaltlichen Verhältnissen ausgehende Unterscheidung zwischen außergewöhn-
lichen Punkten der Abbildung und geometrisch außergewöhnlichen Kurven-
punkten bei R. v. Lilienthal hat mit der hier eingeführten Unterscheidung zwischen
Kurvensingularitäten und Parametersingularitäten nichts zu tun. Nach Fertig-
stellung der hier vorliegenden Arbeit kam dem Verfasser das neu erschienene
Buch von W.Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie, Bd. I, Berlin 1921,
zu Gesicht. In diesem werden auf S. 4 — die Funktionen sind als reelle Potenz-
reihen vorausgesetzt — die hier eingeführten Parametersingularitäten durch die
Bemerkung berührt, daß die Singularität eines Kurvenpunktes durch die Para-
meterdarstellung oder durch ein besonderes Verhalten der Kurve verursacht
sein kann.
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