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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0006
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R. BALDUS:
es gar keine Kurvensingularitäten gibt. Die nähere Betrachtung zeigt
aber, daß #(s) und y(£) in Punkten, in denen eine Kurvensingularität
vorliegt, nicht den geforderten Funktionaleigenschaften genügen.
Die entsprechenden Ergebnisse für den spezielleren Fall der reellen
analytischen Kurven sind ohne weiteres angebbar: hier treten ab-
zählbar unendlich viele Gleichungen als Charakteristikum für Parameter-
singularitäten auf.
Der zweite Teil bringt die Erweiterung der gewonnenen Ergeb-
nisse für den Fall reeller unebener Parameterkurven in linearen Räumen
beliebig hoher endlicher Dimensionszahl. Dabei gewinnt man eine
einfache Formel für die Angabe sämtlicher Krümmungen einer Kurve
in beliebig singulären Punkten, eine Formel, mit deren Hilfe eine voll-
ständige Klassifizierung der singulären Punkte unter Berücksichtigung
ihrer Krümmungseigenschaften möglich ist. Die Zahl der verschiedenen
Typen beträgt schon im vierdimensionalen Raume 250. Im Anschluß
an den Fall der ebenen Kurven lassen sich auch für die unebenen
Kurven notwendige und hinreichende Kriterien für die Parameter-
singularitäten angeben.
Da es, wie man einfach erkennt, bei komplexen analytischen Kur-
ven keine Parametersingularitäten gibt, gehören die hier behandelten
Fragen zu dem Teile der reellen Differentialgeometrie, der sich nicht
auf das Komplexe übertragen läßt.
I. Ebene Kurven.
1. Allgemeine Voraussetzungen. Ein reelles, ebenes, in
keinem Teilstücke geradliniges Kurvenstück ((7) sei in rechtwinkeligen
Koordinaten durch die Gleichungen x = <p(t), y = %(f) gegeben, deren
rechte Seiten für kein Teilintervall des zu betrachtenden Z-Intervalles
konstant sind. Für die Untersuchung der Umgebung eines inneren
Punktes Po dieses Kurvenstückes, dem der Einfachheit halber der
Paranieterwert 0 zugeordnet sein möge, sollen folgende Annahmen
gemacht werden10):
Für jeden Wert t eines reellen, endlichen abgeschlossenen Inter-
valles (ty, ist
I. <p(f) reellwertig, eindeutig, endlich;
II. es existieren die (reellwertigen, eindeutigen) end-
lichen beiderseitigen Derivierten <p'(f), cp"(Z)
10) Diese Annahmen sind so gewählt, daß in der zu betrachtenden Umgebung
der Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden kann.
R. BALDUS:
es gar keine Kurvensingularitäten gibt. Die nähere Betrachtung zeigt
aber, daß #(s) und y(£) in Punkten, in denen eine Kurvensingularität
vorliegt, nicht den geforderten Funktionaleigenschaften genügen.
Die entsprechenden Ergebnisse für den spezielleren Fall der reellen
analytischen Kurven sind ohne weiteres angebbar: hier treten ab-
zählbar unendlich viele Gleichungen als Charakteristikum für Parameter-
singularitäten auf.
Der zweite Teil bringt die Erweiterung der gewonnenen Ergeb-
nisse für den Fall reeller unebener Parameterkurven in linearen Räumen
beliebig hoher endlicher Dimensionszahl. Dabei gewinnt man eine
einfache Formel für die Angabe sämtlicher Krümmungen einer Kurve
in beliebig singulären Punkten, eine Formel, mit deren Hilfe eine voll-
ständige Klassifizierung der singulären Punkte unter Berücksichtigung
ihrer Krümmungseigenschaften möglich ist. Die Zahl der verschiedenen
Typen beträgt schon im vierdimensionalen Raume 250. Im Anschluß
an den Fall der ebenen Kurven lassen sich auch für die unebenen
Kurven notwendige und hinreichende Kriterien für die Parameter-
singularitäten angeben.
Da es, wie man einfach erkennt, bei komplexen analytischen Kur-
ven keine Parametersingularitäten gibt, gehören die hier behandelten
Fragen zu dem Teile der reellen Differentialgeometrie, der sich nicht
auf das Komplexe übertragen läßt.
I. Ebene Kurven.
1. Allgemeine Voraussetzungen. Ein reelles, ebenes, in
keinem Teilstücke geradliniges Kurvenstück ((7) sei in rechtwinkeligen
Koordinaten durch die Gleichungen x = <p(t), y = %(f) gegeben, deren
rechte Seiten für kein Teilintervall des zu betrachtenden Z-Intervalles
konstant sind. Für die Untersuchung der Umgebung eines inneren
Punktes Po dieses Kurvenstückes, dem der Einfachheit halber der
Paranieterwert 0 zugeordnet sein möge, sollen folgende Annahmen
gemacht werden10):
Für jeden Wert t eines reellen, endlichen abgeschlossenen Inter-
valles (ty, ist
I. <p(f) reellwertig, eindeutig, endlich;
II. es existieren die (reellwertigen, eindeutigen) end-
lichen beiderseitigen Derivierten <p'(f), cp"(Z)
10) Diese Annahmen sind so gewählt, daß in der zu betrachtenden Umgebung
der Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden kann.