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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0008
s
R. Baldus:
(3)
1- 2« 113\
lim ~ — - 7
t-^ + o35 e
zu
0 .V— 2
1_ Ita Z , r>2
e-i_>+0 <P(0)2-r!
Für r>2 wird die Krümmung 0.
Die Gin. (1) und (2) nehmen hier, wenn man p statt v schreibt,
die Form an
X — (p = Cn • m-. (/) T
y = %(t) = k1-iv+tp+1-X1(t) ci>°’ /n>0, 7j>2.
Da g/(G für £=0 positiv und in ■J1 stetig ist, gibt es um den
Nullpunkt ein in ^enthaltenes abgeschlossenes Intervall (/2, T2)= J2,
in dem q/ (ty > 0 und daher <p (t~) stets wachsend ist. Setzt man
cp(t') = T, t = f(r) und bezeichnet man mit r2 den (negativen, endlichen)
Wert von (p (t2\ mit T2 den (positiven, endlichen) Wert von (p(T2)
dann ist, weil /,'(t)=-1->0 ist und wegen f" (?) = — r die
Funktion /(t) in (t2, T2) samt ihrer ersten Ableitung reell wertig, ein-
deutig, endlich, stetig, während die zweite Ableitung existiert und be-
schränkt ist; /'(t) erfüllt die Bedingungen I —IV für /z=l und es ist
* = AT) = 7T + T2-/iOO-
3. Setzt man t=f(r) in / G) ein, dann erhält man eine Funktion
</(t), die in (r2, T2) der Forderung I genügt. Durch wiederholte
Differentiation findet man
' z_\ z' (0
9 <p' (t) ’
x"^ 7'^)-<p"^
" f' (02 (t)3 ’
(5) />« = + (-1/ ■ -S+j]+(- lW-'P-ö-?... (2r-3)J-
<P (t) ß=i L cp'(t)
r-Q
dabei ist Z0—^s6,i eine Summe, deren Summanden se,i Produkte
j = 1
sind, bestehend aus einem Zahlenfaktor, einer Ableitung /w(0 und
q Ableitungen <ph‘i) (f), (Z) cp{je) (£) (wobei auch mehrere j ein¬
ander gleich sein können). Es sind alle y>2, außerdem gilt die
13) Diese Formel für die Krümmung ist hier und im folgenden bequemer
als der sonst bei Paranieterdarsteilungen verwendete Ausdruck für die Krümmung
in einem beliebigen Kurvenpunkte, der leicht aus ihr abgeleitet werden kann.
R. Baldus:
(3)
1- 2« 113\
lim ~ — - 7
t-^ + o35 e
zu
0 .V— 2
1_ Ita Z , r>2
e-i_>+0 <P(0)2-r!
Für r>2 wird die Krümmung 0.
Die Gin. (1) und (2) nehmen hier, wenn man p statt v schreibt,
die Form an
X — (p = Cn • m-. (/) T
y = %(t) = k1-iv+tp+1-X1(t) ci>°’ /n>0, 7j>2.
Da g/(G für £=0 positiv und in ■J1 stetig ist, gibt es um den
Nullpunkt ein in ^enthaltenes abgeschlossenes Intervall (/2, T2)= J2,
in dem q/ (ty > 0 und daher <p (t~) stets wachsend ist. Setzt man
cp(t') = T, t = f(r) und bezeichnet man mit r2 den (negativen, endlichen)
Wert von (p (t2\ mit T2 den (positiven, endlichen) Wert von (p(T2)
dann ist, weil /,'(t)=-1->0 ist und wegen f" (?) = — r die
Funktion /(t) in (t2, T2) samt ihrer ersten Ableitung reell wertig, ein-
deutig, endlich, stetig, während die zweite Ableitung existiert und be-
schränkt ist; /'(t) erfüllt die Bedingungen I —IV für /z=l und es ist
* = AT) = 7T + T2-/iOO-
3. Setzt man t=f(r) in / G) ein, dann erhält man eine Funktion
</(t), die in (r2, T2) der Forderung I genügt. Durch wiederholte
Differentiation findet man
' z_\ z' (0
9 <p' (t) ’
x"^ 7'^)-<p"^
" f' (02 (t)3 ’
(5) />« = + (-1/ ■ -S+j]+(- lW-'P-ö-?... (2r-3)J-
<P (t) ß=i L cp'(t)
r-Q
dabei ist Z0—^s6,i eine Summe, deren Summanden se,i Produkte
j = 1
sind, bestehend aus einem Zahlenfaktor, einer Ableitung /w(0 und
q Ableitungen <ph‘i) (f), (Z) cp{je) (£) (wobei auch mehrere j ein¬
ander gleich sein können). Es sind alle y>2, außerdem gilt die
13) Diese Formel für die Krümmung ist hier und im folgenden bequemer
als der sonst bei Paranieterdarsteilungen verwendete Ausdruck für die Krümmung
in einem beliebigen Kurvenpunkte, der leicht aus ihr abgeleitet werden kann.