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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0009
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
9
Gleichung J2+ = + Q- Die höchste in (5) vor-
kommende Ableitung von cp (f) ist 99k) sie tritt in Zr auf.
Vermöge VI folgt aus (5) wegen cp' (f)>0, daß in (t2, T2) die
Ableitungen $k)(T) für r<^p den Bedingungen II und III genügen.
Außerdem verschwindet für t=0 die Funktion g(p) nebst ihren p — 1
ersten Ableitungen, während die p - te Ableitung g^ (0) = -^- > 0 ist.
Daraus ergibt sich:
Ist Po ein regulärer Kurvenpunkt, dann ist es immer
möglich durch Einführung einer die Forderungen I —IV
für p=l befriedigen den Funktion f (t) = die Darstellung (4)
in einer (möglicherweise engeren, beiderseitigen) Um-
gebung von Po durch die einfachere Form
(6) x=t, y = g(T) = H-i^ + TP+1g1(7:), p^>2, %>0
zu ersetzen. Dabei entspricht auch ^(r) den Bedingungen
I — IV, u n d z w a r f ii r p = p.
Auch VI wird von der Funktion 99(7) = ? erfüllt. Daß die Ab-
bildung der Wertepaare cp (Z), %(f) auf die Punkte eines zugehörigen
G Intervalle« umkehrbar eindeutig ist muß nicht ausdrücklich vor-
ausgesetzt werden, nach Nr. 2 folgt dies für J2 aus I—V. In Nr. 5
wird davon noch die Rede sein.
4. Singuläre Punkte. Wendet man, um zu singulären Punk-
ten überzugehen, die Überlegungen von Nr. 1 auf 99'(f) statt auf cp (f)
an, dann erhält man, indem man m statt p und n statt v schreibt,
neben
(7)
«'=z(b=^%<”)(o).+<n+iZ1(o
f>”“)(0)>0, z<“’(0)>0
die weiteren Gleichungen
(8) /(i)=^_tzW(0)+rZa(i),
wobei im Intervall J1 auch cp2(t) und %2(0 beschränkt sind. Wegen
m<Cn ist m)>2 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
daß cp (0) = /'(0)=0, der Punkt Po singulär ist.
Ist A der absolute Betrag der absolut größeren der beiden Gren-
zen von 99^), dann stimmt vermöge (7) für —— das Vor-
o \ / ■A-m\
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Gleichung J2+ = + Q- Die höchste in (5) vor-
kommende Ableitung von cp (f) ist 99k) sie tritt in Zr auf.
Vermöge VI folgt aus (5) wegen cp' (f)>0, daß in (t2, T2) die
Ableitungen $k)(T) für r<^p den Bedingungen II und III genügen.
Außerdem verschwindet für t=0 die Funktion g(p) nebst ihren p — 1
ersten Ableitungen, während die p - te Ableitung g^ (0) = -^- > 0 ist.
Daraus ergibt sich:
Ist Po ein regulärer Kurvenpunkt, dann ist es immer
möglich durch Einführung einer die Forderungen I —IV
für p=l befriedigen den Funktion f (t) = die Darstellung (4)
in einer (möglicherweise engeren, beiderseitigen) Um-
gebung von Po durch die einfachere Form
(6) x=t, y = g(T) = H-i^ + TP+1g1(7:), p^>2, %>0
zu ersetzen. Dabei entspricht auch ^(r) den Bedingungen
I — IV, u n d z w a r f ii r p = p.
Auch VI wird von der Funktion 99(7) = ? erfüllt. Daß die Ab-
bildung der Wertepaare cp (Z), %(f) auf die Punkte eines zugehörigen
G Intervalle« umkehrbar eindeutig ist muß nicht ausdrücklich vor-
ausgesetzt werden, nach Nr. 2 folgt dies für J2 aus I—V. In Nr. 5
wird davon noch die Rede sein.
4. Singuläre Punkte. Wendet man, um zu singulären Punk-
ten überzugehen, die Überlegungen von Nr. 1 auf 99'(f) statt auf cp (f)
an, dann erhält man, indem man m statt p und n statt v schreibt,
neben
(7)
«'=z(b=^%<”)(o).+<n+iZ1(o
f>”“)(0)>0, z<“’(0)>0
die weiteren Gleichungen
(8) /(i)=^_tzW(0)+rZa(i),
wobei im Intervall J1 auch cp2(t) und %2(0 beschränkt sind. Wegen
m<Cn ist m)>2 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
daß cp (0) = /'(0)=0, der Punkt Po singulär ist.
Ist A der absolute Betrag der absolut größeren der beiden Gren-
zen von 99^), dann stimmt vermöge (7) für —— das Vor-
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