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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0010
10
R. B aldus:
Zeichen von 99^) mit dem von tm überein. Nimmt man die ana-
loge Überlegung für / (/) dazu, dann erhält man ein in enthaltenes
abgeschlossenes Intervall (Z3, P3)=J3 um den Nullpunkt, in dem
das Vorzeichen von dem von j- übereinstimmt.
mit dem von
nirgends eine dieser beiden Derivierten verschwindet, (t^, P4) = T4 sei
der in -73 enthaltene abgeschlossene Teil dieses Intervalles. Wenn t
von bis 0 wächst, nimmt 92(0 ^j^eradem0} m s^s lab}’
wenn t von 0 bis T± zunimmt, wächst 99(2!) stets. Das Analoge gilt
für %(£), d. h. den abgeschlossenen Parameter inte rvallen
(/4, 0) und (0, P4) entsprechen stets fallende oder stets
steigende Kurvenstücke. In jedem dieser Intervalle sind 99^)
und ^(7) umkehrbar eindeutige Funktionen von t.
5. In der nämlichen Weise liefern die Gleichungen (8) ein angeb¬
bares Intervall um den Nullpunkt, in dem das Vorzeichen von
1% v 1J
Kn-ü übereinstimmt, so daß hier, außer im Nullpunkte,
Daraus folgt zunächst, daß innerhalb J4 nicht zwei auf der
gleichen Seite des Nullpunktes liegende t-Werte den gleichen Kurven-
punkt liefern können. Da außerdem nach dem Schlüsse von Nr. 4
für ungerades m oder n mindestens eine der beiden Koordinaten bei
t = 0 ihr Vorzeichen wechselt, können in diesen Fällen auch nicht
zwei auf verschiedenen Seiten des Nullpunktes liegende £-Werte auf
denselben Kurvenpunkt führen, demnach liefert, wenn nicht m
und n gerade ist, der Parameter t im Intervall J4 jeden
Kurven punkt nur einmal.
Bei geradem m und n kann eine doppelte Überdeckung des Kurven-
stückes und nur eine solche stattfinden, die beiden steigenden
Zweige des Stückes, die den Teilintervallen (t^, 0) und (0, ent-
sprechen, fallen dann aufeinander. Es genügt eines dieser Teilinter-
valle zu durchlaufen, die geometrische Kurve hat Po zum Endpunkte 14)-
Dieser Fall kann durch eine weitere Annahme ausgeschlossen werden:
I — IV vorausgesetzt, ist es bei geradem m immer möglich zu jedem
Werte t^>0 eines mit t=0 beginnenden Intervalles einen Wert
eines mit r = 0 endigenden Intervalles so zu finden, daß (p(f) = (p(t)
14) Dies ist der Fall bei der schon erwähnten „scheinbaren Singularität“ bei
G. Scheffers. L. Raffy, Leipons sur les applications geometriques de l’analyse,
Paris 1897, bezeichnet S. 4- eine solche Parameterdarstellung als „representation
impropre“.
R. B aldus:
Zeichen von 99^) mit dem von tm überein. Nimmt man die ana-
loge Überlegung für / (/) dazu, dann erhält man ein in enthaltenes
abgeschlossenes Intervall (Z3, P3)=J3 um den Nullpunkt, in dem
das Vorzeichen von dem von j- übereinstimmt.
mit dem von
nirgends eine dieser beiden Derivierten verschwindet, (t^, P4) = T4 sei
der in -73 enthaltene abgeschlossene Teil dieses Intervalles. Wenn t
von bis 0 wächst, nimmt 92(0 ^j^eradem0} m s^s lab}’
wenn t von 0 bis T± zunimmt, wächst 99(2!) stets. Das Analoge gilt
für %(£), d. h. den abgeschlossenen Parameter inte rvallen
(/4, 0) und (0, P4) entsprechen stets fallende oder stets
steigende Kurvenstücke. In jedem dieser Intervalle sind 99^)
und ^(7) umkehrbar eindeutige Funktionen von t.
5. In der nämlichen Weise liefern die Gleichungen (8) ein angeb¬
bares Intervall um den Nullpunkt, in dem das Vorzeichen von
1% v 1J
Kn-ü übereinstimmt, so daß hier, außer im Nullpunkte,
Daraus folgt zunächst, daß innerhalb J4 nicht zwei auf der
gleichen Seite des Nullpunktes liegende t-Werte den gleichen Kurven-
punkt liefern können. Da außerdem nach dem Schlüsse von Nr. 4
für ungerades m oder n mindestens eine der beiden Koordinaten bei
t = 0 ihr Vorzeichen wechselt, können in diesen Fällen auch nicht
zwei auf verschiedenen Seiten des Nullpunktes liegende £-Werte auf
denselben Kurvenpunkt führen, demnach liefert, wenn nicht m
und n gerade ist, der Parameter t im Intervall J4 jeden
Kurven punkt nur einmal.
Bei geradem m und n kann eine doppelte Überdeckung des Kurven-
stückes und nur eine solche stattfinden, die beiden steigenden
Zweige des Stückes, die den Teilintervallen (t^, 0) und (0, ent-
sprechen, fallen dann aufeinander. Es genügt eines dieser Teilinter-
valle zu durchlaufen, die geometrische Kurve hat Po zum Endpunkte 14)-
Dieser Fall kann durch eine weitere Annahme ausgeschlossen werden:
I — IV vorausgesetzt, ist es bei geradem m immer möglich zu jedem
Werte t^>0 eines mit t=0 beginnenden Intervalles einen Wert
eines mit r = 0 endigenden Intervalles so zu finden, daß (p(f) = (p(t)
14) Dies ist der Fall bei der schon erwähnten „scheinbaren Singularität“ bei
G. Scheffers. L. Raffy, Leipons sur les applications geometriques de l’analyse,
Paris 1897, bezeichnet S. 4- eine solche Parameterdarstellung als „representation
impropre“.