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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0011
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
11
ist. Für diese Intervalle oder irgend zwei engere Intervalle links und
rechts von 0 mit dem einen Endpunkte 0 gelte dann
VII. Es soll b ei geradem m und n nirgends %(Q=%(Q sein.
6. Krümmung in singulären Punkten. Aus dem Schlüsse
von Nr. 4 erhält man, je nachdem m ungerade oder gerade und n
ungerade oder gerade ist, in bekannter Weise 4 Typen singulärer
Punkte.15) Unter den Voraussetzungen von I —VII teilt Po das
Kurvenstück in zwei stets steigende oder stets fallende Teile, von
denen jeder die X-Achse berührt. Der eine Teil verläuft immer
im 1. Quadranten, der andere im
Fall [1,2] mung.,wger.16)im2.Q,uadr. (anschaulicher Typus des regulären
Punktes mit endlicher Krümmung)17)
„ [1,1] m ung., n ung. „ 3. „
„ [2,1] m ger., n ung. „ 4. „
„ [2,2] m ger., n ger. „1. „
(ansch. Typus d. Wendepunktes)18)
(Spitze 1. Art, Hellebardenspitze)19)
(Spitze 2. Art, Schnabelspitze).
ist nach
den
Fall
(9)
a
b
c20).
Der
Glu.
(2m -1)1 ?9(?w)(0)2
0
oo
(m—1)! m! / (0)
für n < 2 m
„ n = 2 m
„ n>2m
Grenzwert der Krümmung1 im singulären Punkt
Ö Q &
(3) und (7)
1 = lim =
■»0
15) Die zugehörigen Figuren finden sich z. B. bei G. Scheffers a. a. 0. S. 107,
wo aber die Buchstaben m und n gegenüber der hier getroffenen Wahl zu ver-
tauschen sind.
le) Diese Bezeichnung eines ungeraden Exponenten durch 1, eines geraden
durch 2 wird vor allein in den späteren Ausführungen der Nr. 19 bequem sein.
17) Der Fall [1, 2] ist in der v. Staudt sehen Auffassung nicht singulär.
lä) In den Fällen [1, 2] und [1, 1] ist bei der oben angegebenen Definition
des regulären Kurvenstückes nach W. F. Osgood der Punkt Po regulärer Kurven-
punkt. Diese Singularitäten sind dort, falls sie auftreten, Parametersingularitäten.
So wäre z. B. x — t3, y—t3 zu ersetzen durch x=t, y = z3. Daß dabei in
anschaulich paradoxer Weise der scheinbare Wendepunkt den KrümmungsradiusO
hat ohne singulär zu sein, spielt für die Osgood sehe Auffassung, welche nur
erste Ableitungen berücksichtigt, keine Rolle.
19) Nach R. v. Lilienthal a. a. 0. S. 5.
20) Dieses einfache Kriterium für die Krümmung ist bei R. v. Lilienthal
a. a. 0. S. 11 angegeben. Die dortige Bezeichnungsweise hängt mit der hier
gewählten durch die Gleichungen zusammen v = m, X = n—m. Ein spezieller
Fall findet sich schon bei G. Cramer, Introduction ä l’analyse des lignes courbes
algebriques, Genf 1750, S. 544, wo bemerkt wird, daß die Parabel y=axh bei
11
ist. Für diese Intervalle oder irgend zwei engere Intervalle links und
rechts von 0 mit dem einen Endpunkte 0 gelte dann
VII. Es soll b ei geradem m und n nirgends %(Q=%(Q sein.
6. Krümmung in singulären Punkten. Aus dem Schlüsse
von Nr. 4 erhält man, je nachdem m ungerade oder gerade und n
ungerade oder gerade ist, in bekannter Weise 4 Typen singulärer
Punkte.15) Unter den Voraussetzungen von I —VII teilt Po das
Kurvenstück in zwei stets steigende oder stets fallende Teile, von
denen jeder die X-Achse berührt. Der eine Teil verläuft immer
im 1. Quadranten, der andere im
Fall [1,2] mung.,wger.16)im2.Q,uadr. (anschaulicher Typus des regulären
Punktes mit endlicher Krümmung)17)
„ [1,1] m ung., n ung. „ 3. „
„ [2,1] m ger., n ung. „ 4. „
„ [2,2] m ger., n ger. „1. „
(ansch. Typus d. Wendepunktes)18)
(Spitze 1. Art, Hellebardenspitze)19)
(Spitze 2. Art, Schnabelspitze).
ist nach
den
Fall
(9)
a
b
c20).
Der
Glu.
(2m -1)1 ?9(?w)(0)2
0
oo
(m—1)! m! / (0)
für n < 2 m
„ n = 2 m
„ n>2m
Grenzwert der Krümmung1 im singulären Punkt
Ö Q &
(3) und (7)
1 = lim =
■»0
15) Die zugehörigen Figuren finden sich z. B. bei G. Scheffers a. a. 0. S. 107,
wo aber die Buchstaben m und n gegenüber der hier getroffenen Wahl zu ver-
tauschen sind.
le) Diese Bezeichnung eines ungeraden Exponenten durch 1, eines geraden
durch 2 wird vor allein in den späteren Ausführungen der Nr. 19 bequem sein.
17) Der Fall [1, 2] ist in der v. Staudt sehen Auffassung nicht singulär.
lä) In den Fällen [1, 2] und [1, 1] ist bei der oben angegebenen Definition
des regulären Kurvenstückes nach W. F. Osgood der Punkt Po regulärer Kurven-
punkt. Diese Singularitäten sind dort, falls sie auftreten, Parametersingularitäten.
So wäre z. B. x — t3, y—t3 zu ersetzen durch x=t, y = z3. Daß dabei in
anschaulich paradoxer Weise der scheinbare Wendepunkt den KrümmungsradiusO
hat ohne singulär zu sein, spielt für die Osgood sehe Auffassung, welche nur
erste Ableitungen berücksichtigt, keine Rolle.
19) Nach R. v. Lilienthal a. a. 0. S. 5.
20) Dieses einfache Kriterium für die Krümmung ist bei R. v. Lilienthal
a. a. 0. S. 11 angegeben. Die dortige Bezeichnungsweise hängt mit der hier
gewählten durch die Gleichungen zusammen v = m, X = n—m. Ein spezieller
Fall findet sich schon bei G. Cramer, Introduction ä l’analyse des lignes courbes
algebriques, Genf 1750, S. 544, wo bemerkt wird, daß die Parabel y=axh bei