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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0012
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R. B ALDUS:
Durch Berücksichtigung der Krümmung erhält man so folgende
10 Typen singulärer Punkte: [1,2]„, [l,2]y [1, 2]e, [1, l]o, [1, l]c, [2, l]a,
[2,1JC, [2,2]o,[2,2]s, [2,2]c.21)
7. P ar am et e r s i n g ul ar i t ä t en. Der Vergleich von Nr. 6 mit
Nr. 7 zeigt, daß nur bei ungeradem m und zwar in den Fällen [1, 2]6,
[1,2]c, [1, l]c eine Parametersingularität vorliegen kann.
Daraus folgt zunächst: ersetzt man die Gin. (4) für die Um-
gebung eines regulären Punktes Po den Parameter t durch eine
Funktion xp (t), welche die Bedingungen I — IV für ein gerades p
erfüllt, dann erhält man eine Parameterdarstellung in t in der
~ und eS müßte Po ein singulärer Punkt vom
Typus [2, 2] werden, wenn die Voraussetzung VII erfüllt wäre. Da
es 'keine Parametersingularität [2,2] gibt, genügt die Darstellung in t
der Bedingung VII nicht, sie liefert nicht die beiderseitige Umgebung
von Po, sondern nur den von Po aus im ersten Quadranten ver-
laufenden Teil des Kurvenstückes, diesen aber doppelt überdeckt.
Es liege nun ein singulärer Punkt Po mit ungeradem m vor.
Setzt man in den Gin. (7) für die Umgebung dieses Punktes <p(7) = r
und ~ g (p), dann ist nach Nr. 5 im Intervall Ji die Beziehung
zwischen x (d. h. r) und t umkehrbar eindeutig und stetig, demnach
gilt hier in dem zugehörigen x- Intervall Jx die Voraussetzung I für
g(x). Handelt es sich nun in Po um eine Parametersingularität, dann
muß nach dem Satze von Nr. 3 die Funktion g(p) auch die Bedin-
gungen II —IV für erfüllen und nach den Gin. (6) gilt für
alle Werte t von P4 die Gleichung
»” z<»> (0) +1- + >» (0 = 7. ß”-* (0) W” + h’i W J’
Dabei geht g<i (t) aus gi (r) hervor, indem man x durch seinen (ein-
deutigen) Ausdruck in t ersetzt. (t), epi (/) und g% (£) sind beschränkt,
außerdem sind %^(0), x und 9?^(0)^>0. Dividiert man diese Glei-
chung durch F, dann liefert der Wert t = 0 die Bezeichnung n — mp,
rationalem h 1 im Scheitel unendliche, endliche oder verschwindende Krüm-
mung hat, je nachdem 7iQ"2 ist.
21) Bei Che.. Wiener a. a. O. sind, bei anderer Bedeutung des Wortes sin-
gulär, diese 10 Fälle unterschieden. In v. Mangoldt, Kurven Nr. 19 Al ist der
Fall [1, 2]ö nicht berücksichtigt.
R. B ALDUS:
Durch Berücksichtigung der Krümmung erhält man so folgende
10 Typen singulärer Punkte: [1,2]„, [l,2]y [1, 2]e, [1, l]o, [1, l]c, [2, l]a,
[2,1JC, [2,2]o,[2,2]s, [2,2]c.21)
7. P ar am et e r s i n g ul ar i t ä t en. Der Vergleich von Nr. 6 mit
Nr. 7 zeigt, daß nur bei ungeradem m und zwar in den Fällen [1, 2]6,
[1,2]c, [1, l]c eine Parametersingularität vorliegen kann.
Daraus folgt zunächst: ersetzt man die Gin. (4) für die Um-
gebung eines regulären Punktes Po den Parameter t durch eine
Funktion xp (t), welche die Bedingungen I — IV für ein gerades p
erfüllt, dann erhält man eine Parameterdarstellung in t in der
~ und eS müßte Po ein singulärer Punkt vom
Typus [2, 2] werden, wenn die Voraussetzung VII erfüllt wäre. Da
es 'keine Parametersingularität [2,2] gibt, genügt die Darstellung in t
der Bedingung VII nicht, sie liefert nicht die beiderseitige Umgebung
von Po, sondern nur den von Po aus im ersten Quadranten ver-
laufenden Teil des Kurvenstückes, diesen aber doppelt überdeckt.
Es liege nun ein singulärer Punkt Po mit ungeradem m vor.
Setzt man in den Gin. (7) für die Umgebung dieses Punktes <p(7) = r
und ~ g (p), dann ist nach Nr. 5 im Intervall Ji die Beziehung
zwischen x (d. h. r) und t umkehrbar eindeutig und stetig, demnach
gilt hier in dem zugehörigen x- Intervall Jx die Voraussetzung I für
g(x). Handelt es sich nun in Po um eine Parametersingularität, dann
muß nach dem Satze von Nr. 3 die Funktion g(p) auch die Bedin-
gungen II —IV für erfüllen und nach den Gin. (6) gilt für
alle Werte t von P4 die Gleichung
»” z<»> (0) +1- + >» (0 = 7. ß”-* (0) W” + h’i W J’
Dabei geht g<i (t) aus gi (r) hervor, indem man x durch seinen (ein-
deutigen) Ausdruck in t ersetzt. (t), epi (/) und g% (£) sind beschränkt,
außerdem sind %^(0), x und 9?^(0)^>0. Dividiert man diese Glei-
chung durch F, dann liefert der Wert t = 0 die Bezeichnung n — mp,
rationalem h 1 im Scheitel unendliche, endliche oder verschwindende Krüm-
mung hat, je nachdem 7iQ"2 ist.
21) Bei Che.. Wiener a. a. O. sind, bei anderer Bedeutung des Wortes sin-
gulär, diese 10 Fälle unterschieden. In v. Mangoldt, Kurven Nr. 19 Al ist der
Fall [1, 2]ö nicht berücksichtigt.